A generalization of the binomial series. (Q1531955)

Herr Schlömilch hat im XXX. Bande seiner Zeitschrift S.191 (F. d. M. XVII. 1885, 288, JFM 17.0288.03) die Aufgabe gestellt, die ganzen algebraischen Functionen \(f_0(n), f_1(n), \dots\) so zu bestimmen, dass der Function \[ f(n) = (r=0,1,\dots) f_r(n) x^r \] die Eigenschaft \(f(n_1)f(n_2) = f(n_1+n_2)\) zukommt, und dieselbe für \(f_0(n)=1\) behandelt. Die allgemeine Lösung ist: \[ (F(z))^n = (r=0,1,\dots) nD_y^{r-1} (F(y))^{n-1} F'(y).(\varphi(y))^r x^r : r!, \] \[ z = x \varphi (z) + y; \] diese Reihe hat ausserdem noch die Eigenschaft, dass sie gleich dem Quotienten zweier Reihen ist, von denen zweite aus der ersten für \(n=0\) hervorgeht. Durch besondere Annahmen ergeben sich hieraus Resultate, die schon Herr Hurwitz (Schlömilch Z. XXXV. 56, F. d. M. XXII. 1890. 258; JFM 22.0258.03) und Herr Saalschütz (Schlömilch Z. XXXII. 250, F. d. M. XIX. 1887. 234, JFM 19.0234.02) abgeleitet hatten.