On the comparison of the arithmetic and geometric means. (Q1531961)

Das arithmetische Mittels aus \(n\) positiven Grössen \(a_1, a_2, \dots, a_n\) hat, abgesehen von dem Falle, wo diese Grössen alle einander gleich sind, stets einen grösseren Wert als ihr geometrisches Mittel. Der neue Beweis, den der Verf. für diesen Satz giebt, ist folgender: Setz man \[ \root{n}\of {a_1} = x_1, \;\root{n}\of{a_2} = x_2, \;\dots, \;\root{n}\of{a_n} = x_n, \] so kann die Differenz \[ \varphi (x_1,x_2,\dots,x_n) = \frac {x_1^n+x_2^n+\cdots+x_n^n} n - x_1 x_2 \dots x_n \] auf die Form gebracht werden: \[ \frac 1 {2.n!}\;(\varphi_1 + \varphi_2 + \cdots + \varphi_{n-1}), \] wo \[ \begin{aligned} & \varphi_1\quad = \varSigma (x_1^{n-2} + x_1^{n-3}x_2 + \cdots + x_2^{n-2})(x_1-x_2)^2,\\ & \varphi_2\quad = \varSigma (x_1^{n-3} + x_1^{n-4}x_2 + \cdots + x_2^{n-3})(x_1-x_2)^2x_3,\\ & \hdotsfor1\\ & \hdotsfor1\\ & \varphi_{n-1} = \varSigma (x_1-x_2)^2 x_3 x_4 \dots x_n\end{aligned} \] ist und die Summation sich auf alle Glieder erstreckt, die aus den angedeuteten durch alle möglichen Permutationen von \(x_1, x_2, \dots, x_n\) hervorgehen.