Integration eines speciellen Systems linearer homogener Differentialgleichungen mit doppeltperiodischen Functionen als Coefficienten. (Q1532063)

Das System lautet: \[ \frac{dx}{dt}=2a^2\left(\frac{\eta z}{a^2+c^2}-\frac{y\zeta}{a^2+b^2}\right),\quad \frac{dy}{dt}=2b^2\left(\frac{\zeta x}{b^2+a^2}-\frac{z\xi}{b^2+c^2}\right), \] \[ \frac{dz}{dt}=2c^2\left(\frac{\xi y}{c^2+b^2}-\frac{x\eta}{c^2+a^2}\right), \] wo \(\xi,\eta,\zeta\) elliptische Functionen von \(t\) bedeuten, die den Gleichungen \[ \frac{d\xi}{dt}=\frac{2a^2(b^2-c^2)}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}\;\eta\zeta,\quad \frac{d\eta}{dt}=\frac{2b^2(c^2-a^2)}{(b^2+c^2)(b^2+a^2)}\;\zeta\xi, \] \[ \frac{d\zeta}{dt}=\frac{2c^2(a^2-b^2)}{(c^2+a^2)(c^2+b^2)}\;\xi\eta \] genügen. Ein particuläres Integralsystem ist offenbar \(x_1=\xi\), \(y_1=\eta\), \(z_1=\zeta\). Sind ferner \(x_2,y_2,z_2\); \(x_3,y_3,z_3\) zwei beliebige andere Integralsysteme, so sind die Ausdrücke \[ \frac{x_ix_k}{a^2}+\frac{y_iy_k}{b^2}+\frac{z_iz_k}{c^2}=l_{i,k}\qquad (i,k=1,2,3) \] von \(t\) unabhängig. Setzt man nun \[ l_{ii}=1,\quad l_{i,k}=0\quad (i\lessgtr k), \] so wird \[ x_2+ix_3=e^{\int\left(-x_1\;\frac{dx_1}{dt}-2i\varepsilon a^3bc\left(\frac{\eta y_1}{b^2(a^2+c^2)}+ \frac{\zeta z_1}{c^2(a^2+b^2)}\right)\right)\frac{dt}{a^2-x_1^2}}. \] Mittelst vorstehender Gleichungen erhält man aus dem bekannten Integralsystem \(x_1=\xi\), \(y_1=\eta\), \(z_1=\zeta\) zwei weitere von diesem und von einander linear unabhängige Integralsysteme, und damit die allgemeine Lösung.