Zurückführung complexer Zahlensysteme auf typische Formen. (Q1532083)

Der Verfasser hat in dieser Abhandlung den Inhalt zweier früheren (in den F. d. M. XXI. 1889. 385 u. flgde., JFM 21.0385.03, ausführlich besprochen) Arbeiten zusammengefasst und zu einem Ganzen abgerundet. Es ist daher hier nur Weniges hinzuzufügen. Jedes ``Zahlensystem'' kann als eine endliche continuirliche Gruppe von Punkttransformationen, erzeugt von infinitesimalen Transformationen, aufgefasst werden. Für die Untersuchung und Klassificirung der Zahlensysteme erweist sich eine von Hrn. Lie getroffene Einteilung der Gruppen in zwei Klassen von besonderer Bedeutung: nach Hrn. Engel lässt sich nämlich die gemeinte Einteilung auch dahin charakterisiren, dass die Gruppen der einen Kategorie eine dreigliedrige Untergruppe \(X_1,X_2,X_3\) von der besonderen Zusammensetzung \[ (X_1X_2)=X_1,\quad (X_1X_3)=2X_2,\quad (X_2X_3)=X_3 \] besitzen, die der anderen dagegen nicht. Die diesen beiden Gruppenkategorien entsprechenden Zahlensysteme, welche der Verf. früher Kegelschnittsysteme und Nichtkegelschnittsysteme nannte, werden jetzt besser als Quaternionsysteme und Nichtquaternionsysteme bezeichnet, da zu den ersteren die Hamilton'schen Quaternionen gehören. Die Nichtquaternionsysteme erfahren eine eingehendere Berücksichtigung als früher. Die Theorie derselben gestaltet sich, wie Hr. Study bemerkte, besonders durchsichtig auf Grund des Begriffes der Reducibilität. Ein Zahlensystem heisst reducibel, wenn sich seine Einheiten so in zwei Scharen \(e\) und \(\mathfrak e\) zerlegen lassen, dass jedes Product einer Einheit \(e\) mit einer Einheit \(\mathfrak e\) verschwindet, während sich jedes Product zweier \(e\) allein durch die \(e\), und jedes Product zweier \(\mathfrak e\) allein durch die \(\mathfrak e\) ausdrückt. Im entgegengesetzten Falle heisst das Zahlensystem irreductibel. Irgend ein reductibles Zahlensystem kann nur auf eine Art in eine Reihe von lautet irreductibeln Teilsysteme, so erhält man die charakteristische Gleichung des gegebenen Systems. Kennt man alle irreductibeln Zahlensysteme in \(1,2,\dots,n\) Einheiten, so kennt man überhaupt alle Zahlensysteme in\(1,2,\dots,n\) Einheiten. Aus diesen und ähnlichen Sätzen lässt sich folgern, dass es genügt, alle irreducibeln Nichtquaternionsysteme in \(1,2,\dots,n\) Einheiten zu kennen, um hieraus sämtliche Nichtquaternionsysteme in \(1,2,\dots,n\) Einheiten unmittelbar herzuleiten.