Ueber die partielle Differentialgleichung \(\varDelta u+k^2u=0\) und deren Auftreten in der mathematischen Physik. Mit einem Vorwort von F. Klein. (Q1532107)

Nach der Differentialgleichung des Potentials tritt besonders die Gleichung \(\varDelta u+k^2u=0\) sowohl in physikalischen als auch neuerdings häufig in rein mathematischen Arbeiten auf. Eine Zusammenfassung der wichtigsten Resultate der bisherigen Forschungen, wie es die vorliegende Schrift giebt, ist daher dankbar zu begrüssen. Fast alle älteren Arbeiten und die meisten neueren sind an ihrem Orte benutzt und gewürdigt worden, wenn auch die rein mathematischen gegen die physikalischen zurücktreten. Gerechtfertigt erscheint dies durch die ganze Anlage des Werkes, welches stets die physikalische Erfahrung als leitenden Gesichtspunkt gelten lässt und in dieser Beziehung sich Rayleigh's Theory of Sound zum Muster genommen hat. Was die Anordnung des Stoffes betrifft, so ist das Buch in vier Teile zerlegt. Der erste bespricht die Probleme, bei denen die obige Gleichung in physikalischen und mathematischen Arbeiten aufgetreten ist. Die betreffenden physikalischen Probleme führen stets zu der Aufgabe: eine Lösung der partiellen Differentialgleichung \(\varDelta u+k^2f.u=0\) zu finden, welche sich innerhalb eines gegebenen Bereiches regulär verhält und an der gegebenen Begrenzung der Gleichung \(h\overline u+\frac{\partial \overline u}{\partial\sigma}=0\) genügt, wo \(\sigma\) eine für jeden Punkt der Begrenzung gegebene Richtung bedeutet. Nur für gewisse ausgezeichnete Werte von \(k\) existiren solche Lösungen, die als ausgezeichnete Lösungen bezeichnet werden, und deren Studium den zweiten Teil ausfüllt. Die Existenz solcher ausgezeichneten Lösungen ist völlig streng für beliebige Begrenzungen noch nicht bewiesen; die physikalische Erfahrung tritt hier wieder ein, um diese Lücke zu überbrücken. Zunächst werden verschiedene lösbare Specialfälle besprochen, und dann wird auf die neueren allgemeinen mathematischen Arbeiten besonders von Herrn Schwarz (Acta Soc. Fennicae XV, Helsingfors 1885, F. d. M. XVII. 1885. 776, JFM 17.0776.02) und Poincaré (American Journ. XII, F. d. M. XXII. 1890. 977, JFM 22.0977.03) eingegangen. Der dritte Teil hat wesentlich mathematisches Interesse und giebt allgemeine Sätze über die Lösungen der behandelten Gleichung, wobei die Potentialtheorie als Muster dient. Der letzte Teil sucht diejenigen Lösungen zu ermitteln, für welche \(u\) oder \(\frac{\partial u}{\partial n}\) oder \(hu+\frac{\partial u}{\partial n}\) an der Begrenzung vorgeschriebene Werte besitzt. Bei diesen ``Randwertaufgaben'', über die erst wenige zu sicheren Resultaten führende mathematische Arbeiten existiren, treten die physikalischen Probleme wieder in den Vordergrund; erst am Schluss werden die bezüglichen rein mathematischen Arbeiten der Herren Schwarz (s. oben) und Picard (Acta Math. XII, F. d. M. XXI. 1889. 348, JFM 21.0348.01) besprochen.