On complex functions. Note II. (Q1532114)

In einer unter demselben Titel erschienenen Note (vgl. F. d. M. XIX. 1887. 416, JFM 19.0416.01) hat der Verfasser allgemein die Functionen von \(x,y\) untersucht, die durchdas Integral \[ U=\int\frac{hd\sigma}{e-z} \] dargestellt sind. Hier ist \(z=x+iy\), \(e=\xi+i\eta\), \(h\) eine Function von \(\xi\), \(\eta\); \(d\sigma =d\xi d\eta\), und das Integral ist über eine begrenzte Fläche \(\sigma\) auszudehnen. Wegen der Analogie dieser Functionen mit den Newton'schen Potentialfunctionen nennt der Verfasser dieselben ``complexe Potentialfunctionen''. Die Function \(h\) wird als Dichtigkeit im Punkte \(\xi\), \(\eta\) der Fläche \(\sigma\) aufgefasst. In der vorliegenden Note betrachtet der Verfasser zunächst den speciellen Fall, wo die Fläche \(\sigma\) das Innere der Ellipse \(\frac{\xi^2}{a^2}+\frac{\eta^2}{b^2}=1\) ist und die Dichtigkeit \(h\) constant, etwa \(=1\), angenommen wird. Indem der Verfasser die allgemeinen Eigenschaften der Functionen \(U\) benutzt, erhält er das Resultat, dass \[ U=\pi\left(\frac{a-b}{a+b}\;z-z'\right)\quad\text{oder}\;=\frac{2\pi ab}{c^2}(\sqrt{z^2-c^2}-z) \] ist, je nachdem der Punkt \(z\) im Innern oder ausserhalb der Ellipse liegt. Dabei ist \(c=\sqrt{a^2-b^2}\) und \(z'=x-iy\). Hieran schliessen sich ähnliche Resultate an für den Fall, dass die Fläche \(\sigma\) ein aus zwei concentrischen, homothetischen Ellipsen begrenzter Ring, sowie dass die Dichtigkeit \(h\) in solchen concentrischen Ellipsen variirt. In Zusammenhang damit stehen Linienintegrale der Form \(\int\frac{gds}{\gamma-z}\), wo \(s\) die Bogenlänge bis zum variabeln Punkte \(\xi,\eta\) der Integrationslinie, \(\gamma=\xi+i\eta\) und \(g\) eine die Dichtigkeit im Punkte \(\xi,\eta\) darstellende Function von \(z=x+iy\) dar, die die Integrationslinie als ``coupure'' im Sinne von Hermite besitzen.