On the representability of arbitrary functions by series of the roots of a transcendental equation. (Q1532119)

Bezeichnen \(\lambda_1,\lambda_2,\dots\) die der Grösse nach geordneten positiven Wurzeln der Gleichung \[ \varphi(\lambda)=\lambda\cos\lambda+(\alpha-1)\sin\lambda=0\qquad (\alpha>0), \] so hat die unendliche Reihe \[ v=\frac 1r\sum_{n=1}^\infty \sin(\lambda_n\;\frac rl)\;\frac{\int_0^l \varrho f(\varrho)\sin(\lambda_n\;\frac \varrho l)d\varrho}{\int_0^l (\sin\lambda_n\;\frac \varrho l)^2d\varrho} \] zur Summe \(f(r)\) für \(0<r<l\), mit Auschluss der Grenzen. Der Beweis dieses Satzes ist folgender: Für \(\alpha=1\) wird \[ \lambda_n=\frac{2n-1}{2}\;\pi; \] und wenn die Reihe \(v\) für \(\alpha=1\) durch \(v'\) bezeichnet wird, so lautet dieselbe \[ v'=\frac{2}{rl}\;\sum_{n=1}^\infty \sin(\frac{2n-1}{2}\;\frac rl)\int_0^l \varrho f(\varrho)\sin(\frac{2n-1}{2}\;\frac \varrho l)d\varrho. \] Von dieser Reihe ist bekannt, dass sie mit Ausschluss der Grenzen \(r=0\) und \(r=l\) zwischen denselben \(f(r)\) zur Summe hat. Der Verfasser zeigt nun, dass die beiden Summen \(v\) und \(v'\) gegen die nämliche Grenze convergiren. (Vergl. F. d. M. XXI. 1889. 431, JFM 21.0431.02).