On sums constructed by multiplying the values of the simplest monomials by an everywhere positive function. (Q1532121)

Wenn man die Function \(f(x)\) in eine Reihe nach aufsteigenden Potenzen der Differenz \(x-X\) entwickelt, so findet man die Formeln für die angenäherte Darstellung der Function \(f(x)\) in der Form von Polynomen, deren Coefficienten sich durch die Anfangswerte der Function \(f(z)\) und der Derivirten bestimmen lassen. Wenn man \(f(x)\) in der Form einer Reihe \[ K_0U_0+K_1U_1+K_2U_2+\cdots \] darstellt, wo die \(U_0,U_1,U_2,\dots\) Functionen von \(x\) sind, die von \(f(x)\) nicht abhängen, so finden wir für die Bestimmung der Coefficienten \(K_0,K_1,K_2,\dots\) die Formeln: \[ K_0=\sum\varphi_0(x_i)f(x_i),\dots K_1=\sum\varphi_1(x_i)f(x_i),\;\dots, \] In dem Falle, wenn die Functionen \(\varphi_0(x),\varphi_1(x),\varphi_2(x),\dots\) Polynome der Grade \(0,1,2,\dots\) sind, zerlegen sich diese Summen in die elementaren Summen: \[ \sum x_i^0f(x_i),\;\sum x_if(x_i),\;\sum x_i^2f(x_i),\dots, \] und die angenäherten Werte der Function \(f(x)\) bestimmen sich mittels dieser Summen, welche aus den Werten der Monome \(x_i^0,x_i,x_i^2,\dots\) mit \(f(x_i)\) multiplicirt, gebildet sind. Die in dieser Weise erhaltenen angenäherten Ausdrücke von \(f(x)\) unterscheiden sich wesentlich von dem Ausdrucke der Function durch eine Reihe nach aufsteigenden Potenzen von \(x-X\); obschon dem letzteren im Grade der Genauigkeit nachstehend, wenn es sich darum handelt, die Function \(f(x)\) im Bereiche von \(x=X\) zu berechnen, stellen diese angenäherten Ausdrücke die Function \(f(x)\) besser dar, falls \(x\) sich in mehr oder minder weiteren Grenzen verändert. Dies zeigte der Verfasser in der berühmten Abhandlung: ``Sur l'interpolation par la méthode des moindres carrés'' (Mémoires de l'Académie Impériale de Saint-Pétersbourg, T. III) und ``Sur les fractions continues'' (Journal de Liouville, T. X). Die Summen \(\sum_0^n x_i^0f(x_i),\sum_0^n x_if(x_i),\dots,\sum_0^n x_i^{l-1}f(x_i)\), welche aus den Producten der positiven Grössen \(f(x_0),f(x_1),\dots\) und den Potenzen der reellen Grössen \(x_0,x_1,\dots,x_{n-1}\) gebildet sind, verdienen eine besondere Aufmerksamkeit. Die höchst elegante, auf den Eigenschaften der Kettenbrüche beruhende Analyse des Verfassers gestattet jetzt, nach den gegebenen Grössen \(C_0,C_1,\dots,C_l\) dieser Summen die untere Grenze der grössten und die obere Grenze der kleinsten unter den Grössen \(x_0,x_1,x_2,\dots,x_n\) zu bestimmen. Diese Grenzen sind die kleinste und grösste Wurzel einer Gleichung, die man erhält, wenn man den Nenner eines Näherungsbruches des Kettenbruchs gleich Null setzt, in welchen sich die Function \[ \frac{C_0}{x}+\frac{C_1}{x^2}+\frac{C_2}{x^3}+\cdots+\frac{C_{l-1}}{x^l} \] entwickelt lässt. In der zweiten Hälfte der Abhandlung werden die oberen Grenzen der Summen \[ \sum_0^{q+1}u_i^2,\;\sum_{q_i}^p u_i^2 \] ermittelt, wenn die Gleichungen \[ \sum_0^p z_i^0u_i^2=C_0,\quad \sum_0^p z_iu_i^2=C_1,\quad \sum_0^p z_i^2u_i^2=C_2,\;\dots, \;\sum_0^p z_i^{l-1}u_i^2=C_{l-1} \] bestehen. Diese Grenzen werden durch die Residuen der Näherungsbrüche eines Kettenbruchs gegeben.