On the continuous mapping of a line onto a surface. (Q1532125)

Herr Peano hat gezeigt, dass und wie man die Punkte einer Geraden von der Länge 1 stetig den Punkten eines Quadrates von der Seitenlänge 1 zuordnen kann. Der Verfasser erreicht dasselbe Ziel auf folgendem Wege. Er teilt die Gerade in vier gleiche Teile, ebenso das Quadrat durch die Mittellinien in vier gleiche Quadrate; jeder Teil der Geraden und jedes der Teilquadrate wird in derselben Weise je in vier Teile zerlegt u. s. f. Die einzelnen Teile der Geraden werden sodann den einzelnen Teilen des Quadrates so zugeordnet, dass aneinander stossenden Teilen wieder aneinander stossende Teile entsprechen. Betrachtet man nun einen Punkt der Geraden, so fällt derselbe in unendlich viele ineinander geschachtelte Teile des Quadrates, welche einen Grenzpunkt zugeordnet. Von den Bemerkungen, die der Verfasser an die Abbildung vermittelnden Functionen einfache Beispiele von stetigen, nirgends differentiirbaren Functionen bilden.