On the behavior of a function of two variables in a neighborhood of a zero. (Q1532128)

Bezeichnet \(F(x,y)\) eine gewöhnliche Potenzreihe von \(x\) und \(y\), die sich für \(x=0\) auf eine mit dem Gliede \(y^n\) beginnende Potenzreihe von \(y\) reducirt, so entsprechen genügend kleinen Werten von \(x\) bekanntlich \(n\) Werte von \(y\), die mit \(x\) verschwinden, die Gleichung \(F(x,y)=0\) befriedigen, und die sich nach gebrochen Potenzen von \(x\) entwickelt lassen. Diese Entwickelungen erhält der Verfasser anknüpft, demzufolge die Gleichung \(F(x,y)=0\) ersetzt werden kann durch eine Gleichung der gestalt \[ f(x,y)\equiv f_n+x^2f_{n-1}+x^3f_{n-1}'+\cdots=0, \] wo \(f_n,f_{n-1},f_{n-1}',\dots\) homogene Functionen von \(x\) und \(y\) von den Graden, \(n,n-1,n-1,\dots\) bedeuten. Eine solche Reihe \(f(x,y)\) möge ``reducirt'' heissen. Zunächst kann man nun \(f\) in das Product zweier reducirten Reihen spalten: \[ \begin{aligned} & f=\varphi.\psi, \\ & \varphi=(\varphi_p+x^2\varphi_{p-1}+x^3\varphi_{p-1}'+\cdots), \\ & \psi=(\psi_q+x^2\psi_{q-1}+x^3\psi_{q-1}'+\cdots), \end{aligned} \] indem man \(f_n\) in zwei teilerfremde Factoren \(\varphi_p\psi_p\) zerlegt und die Functionen \(\varphi_{p-1},\psi_{q-1},\dots\) aus der Bedingung bestimmt, dass die vorstehende Gleichung eine identische wird. Der Beweis für die Convergenz der beiden Factoren \(\varphi\) und \(\psi\) wird durch die Methode der Reihenvergleichung erbracht. Durch wiederholte Anwendung dieser Zerlegung einer reduciren Reihe in ein Product zweier anderen stellt man schliesslich \(f\) dar als Product von reducirten Reihen der Gestalt \[ \varphi=(y+ax)^p+x^2\varPhi_{p-1}+x^3\varPhi_{p-1}'+\cdots. \] Diese Reihen lassen sich nun, falls sie nicht die \(p^{\text{te}}\) Potenz einer Reihe der Gestalt \(y+{\mathfrak P}(x)\) darstellen, durch eine Substitution der Form \(y+ax=y_1x_1^{\imath-1}\), \(x=x_1^\kappa\), wo \(\imath,\kappa\) geeignet gewählte positive ganze Zahlen bedeuten, in Reihen von \(y_1,x_1\) verwandeln, die eine weitere Zerlegung gestatten. Auf diese Weise gelangt man endlich dazu, die Reihe \(f\) in ein Product der Gestalt \((y-{\mathfrak P})(y-{\mathfrak P'})\dots(y-{\mathfrak P}^{(n-1)})\) aufzulösen, wo \({\mathfrak P,P',\dots,P}^{(n-1)}\) nach gebrochenen Potenzen von \(x\) fortschreitende Reihen bezeichnen.