On functions of two variables and a theorem of M.r. Nöether. (Q1532129)

Die vorliegende Abhandlung knüpft an die Untersuchungen der Herren Nöther, Voss und Stickelberger über den bekannten Nöther'schen Satz aus der Theorie der ganzen rationalen Functionen von zwei Veränderlichen an. Sie beschäftigt sich mit der Frage, unter welcher Bedingung zwischen drei Potenzreihen \(F,\varPhi,\varPsi\) der beiden unabhängigen Variabeln \(x,y\) eine Gleichung der Gestalt \(F=M\varPhi+N\varPsi\) besteht, wo \(M\) und \(N\) ebenfalls (convergirende) Potenzreihen von \(x\) und \(y\) bedeuten. Der Verfasser beweist den folgenden Satz, der die Antwort auf die erwähnte Frage giebt: Man bestimme die Potenzreihen \(\alpha\) und \(\beta\) so, dass \[ \begin{aligned} & \alpha\varPhi=\varphi=y^p+y^{p-1}x{\mathfrak P}(x)+\cdots+x^p{\mathfrak P}^{(p-1)}(x), \\ & \beta\varPsi=\psi=y^q+y^{q-1}x{\mathfrak Q}(x)+\cdots+x^q{\mathfrak Q}^{(q-1)}(x) \end{aligned} \] wird, was nach einem Satze des Herrn Weierstrass stets möglich ist. Die nach \(y\) genommene Resultante \(R\) von \(\varphi\) und \(\psi\), die eine gewöhnliche Potenzreihe von \(x\) ist, beginne mit dem Gliede \(x^k\). (Der Fall, in welchem \(R\) identisch verschwindet, wird ausgeschlossen.) Lassen sich dann die ganzen rationalen Functionen \(A\) und \(B\) von \(x\) und \(y\) so bestimmen, dass die Entwickelung von \(A\varPhi+B\varPsi\) bis zu den Gliedern \((k-1)^{\text{ter}}\) Dimension mit \(F\) übereinstimmt, so kann man \(A\) und \(B\) durch zwei vonvergirende Potenzreihen \(M\) und \(N\) ersetzen, welche die Gleichung \(F=M\varPhi+N\varPsi\) zu einer identischen machen.