On the integration of the equation \(\varDelta\varDelta u=0\) for a planar domain. (Q1532131)

Der Verfasser löst in der vorliegenden Note die Randwertaufgabe der Gleichung \(\varDelta\varDelta u=0\) für einige specielle ebene Berichte. Unter ``Randwertaufgabe'' ist dabei die folgende Aufgabe verstanden: Es soll eine in einem berandeten Bereiche stetige Lösung der Differentialgleichung gefunden werden, welche auf dem Rande, ebenso wie ihre nach der Randnormale genommene Ableitung, vorgeschriebene Werte annimmt. Im engen Zusammenhange mit der Lösung dieser Aufgabe steht die andere, eine der Differentialgleichung genügende Function zu bestimmen, welche an einer Stelle des gegebenen Bereiches logarithmisch unstetig wird und auf dem Rande nebst ihrer Ableitung nach der Randnormale verschwindet. Diese Function entspricht der Green'schen Function in der Theorie der Gleichung \(\varDelta u=0\) und wird deshalb vom Verfassers als ``zweite Green'sche Function'' bezeichnet. Die Bereiche, für welche die Randwertaufgabe in der vorliegenden Note gelöst wird, sind die folgenden: Der Kreis, der Kreisring, der Winkelraum, der Parallelstreifen, das von zwei Radien und zwei concentrischen Kreisen begrenzte Kreisbogenrechteck. Den drei ersten Fällen wird der Satz zu Grunde gelegt, dass jede Lösung der Gleichung \(\varDelta\varDelta u=0\) sich auf die Form \(u=U+r^2V\) bringen lässt, wo \(U,V\) logarithmische Potentiale bedeuten, \(r\) den Radiusvector. Entwickelt man hiernach \(u\) in eine Fourier'sche Reihe, so gelingt es, die Coefficienten der letzteren den vorgeschriebenen Bedingungen gemäss zu bestimmen. Dem vierten Falle wird die Darstellung \(u=U+yV\) zu Grunde gelegt, wobei vorausgesetzt wird, dass die begrenzenden Linien des Parallelstreifens der \(x\)-Axe parallel laufen. Es gelingt dann, \(U\) und \(V\) durch bestimmte Integrale darzustellen. Der letzte Fall erfordert complicirtere Betrachtungen und wird durch Bildung gewisser particulärer Lösungen der Gleichungen \(\varDelta\varDelta u=0\)erledigt.