Theory of algebraic functions (Q1532134)

Indem der Verf. die Entwickelung der Theorie der algebraischen Functionen geschichtlich verfolgt, beabsichtigt er, zur Aufklärung einzelner Punkte dadurch beizutragen. Zuerst wird gezeigt, dass der Wert des Doppelintegrals \[ \int_\varepsilon^1\int_\delta^1 \frac{\partial^2\log\text{tg}\frac yx}{\partial x\partial y}\;dxdy \] für \(\lim \varepsilon=0,\lim \delta=0\) unbestimmt ist, dass jedoch die Reihenfolge der Integrationen stets vertauscht werden kann. Das Verdienst Cauchy's um die Theorie der Entwickelung einer Function in Reihen wird hervorgehoben. Der Cauchy'sche Beweis für die Laurent'sche Reihe wird reproducirt und vervollständig. Sodann werden dei Untersuchungen von Puiseux über die Weise, wie die verschiedenen Zweige einer algebraischen Function in einander übergehen, einer näheren Betrachtung unterworfen. Der Verfasser wird dadurch zu dem Schlusse geführt, dass die Reihenentwickelungen einer algebraischen Function nach gebrochenen Potenzen der Variable nur dann in den Verzweigungspunkten gültig bleiben, wenn die Nullpunkte, Pole und Verzweigungspunkte in endlicher Entfernung von einander liegen. Hierauf gründet sich die folgende Definition einer algebraischen Function: Eine algebraische Function ist eine solche, welche einer Gleichung von der Form \(a_0y^n+a_1y^{n-1}+\cdots+a_{n-1}y+a_n=0\) genügt (wo die Grössen \(a\) ganze und rationale Functionen der Variable \(x\) sind), und deren Nullpunkte, Pole und Verzweigungspunkte endliche Abstände von einander haben. Die Puiseux'schen Ergebnisse werden auch direct mittels Grenzbestimmungen hergeleitet, wobei sich der Satz herausstellt: Wenn eine Function in solcher Weise unstetig ist, dass ihre ersten Differentialquotienten die Wurzeln einer binomischen Gleichung sind und die Function innerhalb eines endlichen Gebietes um diesen Verzweigungspunkt endlich und stetig bleibt, so werden die Vertauschungen der verschiedenen Zweige der Function innerhalb jenes Gebietes durch diejenigen der binomischen Gleichung bestimmt. Anwendung auf besondere Fälle.