Die Legendre'sche Relation. (Q1532190)

Die Abhandlung lässt sich als eine Fortsetzung der ``Mitteilungen zur Theorie der elliptischen Functionen'' (1883-1890) bezeichnen; sie hat den Zweck, vermöge der dort gewonnenen Resultate den inneren Grund und die wahre Bedeutung der Legendre'schen Relation \[ FE'+F'E-FF'=\tfrac 12\,\pi \] festzustellen. Der Referent meint einige von Kronecker erst im Laufe der Untersuchung eingeführte Bezeichnungen gleich von vorn herein anwenden zu sollen und schickt daher die betreffenden Auseinandersetzungen des Art. VIII dem eigentlichen Berichte voraus. An seine Bemerkungen über die Worte ``Invariante'' und ``Atropos'' in der Einleitung und in \S 8 des Art. XXII jener Mitteilungen anknüpfend, schlägt Kronecker vor, die Gleichung, welche die Invarianteneigenschaft einer Function \(\Im({\mathfrak z}_1,{\mathfrak z}_2,\dots,{\mathfrak z}_n)\) in Evidenz setzt, als ``Atropie'' zu bezeichnen. Besteht ferner für zwei Functionen \(\mathfrak F\) und \(\mathfrak G\) eine Gleichung \[ {\mathfrak F}({\mathfrak z}_1,{\mathfrak z}_2,\dots,{\mathfrak z}_n)-{\mathfrak G}({\mathfrak z}_1,{\mathfrak z}_2,\dots,{\mathfrak z}_n)=\Im({\mathfrak z}_1,{\mathfrak z}_2,\dots,{\mathfrak z}_n), \] in welcher \(\Im\) eine Invariante der durch alle einander äquivalenten Systeme \(({\mathfrak z}_1,{\mathfrak z}_2,\dots,{\mathfrak z}_n)\) gebildeten Klasse bedeutet, so sollen \(\mathfrak F\) und \(\mathfrak G\) ``isotrop'' genannt werden, und die Gleichung, welche diese Eigenschaft zum Ausdrucke bringt, soll eine ``Isotropie'' heissen. Der innere Grund der Legendre'schen Relation besteht nun in folgendem. Die Aequivalenz: \[ (\sigma_0,\tau_0,\sigma,\tau,v,w)\sim(\sigma_0',\tau_0',\sigma',\tau',v',w') \] werde durch die Gleichungen definirt: \[ \sigma_0'=\alpha\sigma_0+\beta\tau_0,\quad \tau_0'=\alpha'\sigma_0+\beta'\tau_0, \quad \sigma'=\alpha\sigma+\beta\tau,\quad \tau'=\alpha\sigma+\beta'\tau, \] \[ v'=\beta'v-\alpha'w,\quad w'=-\beta v+\alpha w, \] in welchen \(\alpha,\alpha',\beta,\beta'\) ganze Zahlen bedeuten; \(\alpha\beta'-\alpha'\beta\) sei gleich 1. Dann besteht für die Function ``Series'', welche durch die Doppelreihe: \[ \text{Ser}(u_0,u,v,w)=\sum_{m,n}\;\frac{e^{(n\sigma_0-m\tau_0)2\pi i}}{(\sigma+m)v+(\tau+n)w} \] \[ (u_0=v\sigma_0+w\tau_0,\quad u=v\sigma+w\tau) \] definirt ist, die ``Atropie'': \[ \text{Ser}(v\sigma_0+w\tau_0,v\sigma+w\tau,v,w)=\text{Ser}(v'\sigma'_0+w'\tau'_0,v'\sigma'+w'\tau',v',w'). \] Entwickelt man aber den für die Function Series früher herbeleiteten Ausdruck: \[ \frac 1v\;e^{\frac{2\tau_0u\pi i}{v}}\cdot\frac{\vartheta'(0,\frac wv)\vartheta(\frac{u_0+u}{v},\frac wv)}{\vartheta(\frac{u_0}{v},\frac wv)\vartheta(\frac uv,\frac wv)} \] nach steigenden Potenzen der Grössen \(\sigma_0,\tau_0,\sigma,\tau\), so hat auch jedes einzelne Aggregat von Gliedern einer und derselben Dimension für sich die angegebene Invarianteneigenschaft, also auch im besonderen das Aggregat der Glieder erster Dimension: \[ (v(\sigma+\sigma_0)+w(\tau+\tau_0))\left(\frac{2\tau_0\pi i}{v^2\sigma_0+vw\tau_0}+\frac{1}{3v^2}\cdot\frac{\vartheta'''(0,\frac wv)}{\vartheta'(0,\frac wv)}\right), \] und da der erste Factor des Productes offenbar selbst eine Invariante ist, so gilt dasselbe von dem zweiten Factor. Die so dargelegte Atropie: \[ \frac{2\tau_0\pi i}{v^2\sigma_0+vw\tau_0} + \frac{1}{3v^2}\cdot\frac{\vartheta'''(0,\frac wv)} {\vartheta'(0,\frac wv)}=\frac{2\tau_0'\pi i}{v'^2\sigma_0'+v'w'\tau_0'}+ \frac{1}{3v'^2}\cdot\frac{\vartheta'''(0,\frac{w'}{v'})}{\vartheta'(0,\frac{w'}{v'})} \] besagt aber genau dasselbe wie die Legendre'sche Relation, was man erkennt, wenn man die in dieser vorkommenden elliptischen Integrale durch Thetafunctionen ausdrückt. Aus der eben angegebenen Atropie geht auch die hauptsächlichste Bedeutung der Legendre'schen Relation hervor. Verhältmassig einfache Umformungen zeigen, dass sie sich vollständig ersetzen lässt durch die Gleichung: \[ \vartheta\left(\frac uw,-\frac uw\right)=-i\left(\sqrt{-\frac{wi}{v}}\right)e^{\frac{u^2}{vw}\pi i}.\vartheta\left(\frac uv,\frac wv\right), \] und das ist die bekannte fundamentale Relation für die lineare Transformation der Thetafunctionen. Kronecker bemerkt noch, dass bereits Jacobi in \S 56 der Fundamenta gezeigt hat, wie man, von der Legendre'schen Relation ausgehend, zur Transformationsgleichung gelangt, während umgekehrt Schellbach in seinem bekannten Buche durch Differentiation der Transformationsgleichung die Legendre'sche Relation erhält. Die folgenden Artikel bezwecken, die Bedeutung der Eisenstein'schen ``Beiträge zur Theorie der elliptischen Functionen'' (1847) für den hier behandelten Gegenstand ins rechte Licht zu setzen; es ist an dieser Stelle nur möglich, die hauptsächlichsten Resultate dieser Untersuchung mitzuteilen. Eisenstein geht, anknüpfend an die Productentwickelung der Kreisfunctionen, von einem Doppelproducte aus, welches in anderer Bezeichnungsweise sich so schreiben lässt: \[ \prod_{m,n}\;\frac{(\sigma_0+m)v+(\tau_0+n)w}{(\sigma+m)v+(\tau+n)w}\,. \] Sein Wert wird bei einer gewissen Reihenfolge der Factoren durch den Quotienten zweier Thetafunctionen dargestellt. Von ihm lässt sich als Factor ein Teil absondern, welcher vei der linearen Transformation der Thetafunctionen seinen Wert behält und als ``Eisenstein'sche Invariante'' bezeichnet wird. Diese Invariante wird durch die Gleichung: \[ \text{En}(u_0,u,v,w)=\prod_{m,n}\;\frac{u_0+mv+nw}{u+mv+nw}\;e^{\frac{u-u_0}{u+mv+nw}+\frac 12(\frac{u-u_0}{u+mv+nw})^2} \] gegeben und lässt sich auch dadurch definiren, dass ihr Logarithmus gleich demjenigen Teile der Entwickelung von: \[ \log\;\frac{\vartheta(\frac{u_0}{v})}{\vartheta(\frac uv)} \] nach Potenzen von \(u_0-u\) ist, welcher erst mit der dritten Potenz anfäng; die Beziehung der Function En zur Weierstrass'schen Sigma-Function geht hieraus sofort hervor. Die Gleichung, welche zwischen der Eisenstein'schen Invariante und dem ursprünglichen Doppelproducte besteht, führt zur Betrachtung der unendlichen Doppelsummen: \[ f_1(u,v,w)=\sum_{m,n}\;\frac{1}{u+mv+nw}, \] \[ f_2(u,v,w)=\sum_{m,n}\;\frac{1}{(u+mv+nw)^2}\,. \] Die Bestimmung der Wertänderungen dieser Reihen bei Substituirung von \(v',w'\) für \(v,w\) hat bereits Eisenstein in sehr sinnreicher Weise durchgeführt, dessen Deduction Kronecker in wesentlich vereinfachter Form auseinandersetzt. Er gelangt dabei zu der wichtigen Gleichung: \[ \sum_{m,n}\frac{1}{(mv'+nw')^2}-\sum_{m,n}\frac{1}{(mv+nw)^2}=\frac{2\alpha'\pi i}{vv'}, \] aus der bei der Annahme \(\alpha=0,\beta=-1,\beta'=0\) eine speciellere Relation hervorgeht, welche vollkommen identisch ist mit der Legendre'schen Relation in der am Anfange der Abhandlung angegebenen Gestalt. ``Es zeigen also auch die Eisenstein'schen Entwickelungen, und zwar mit besonderer Deutlichkeit, die inhaltliche Uebereinstimmung der Legendre'schen Relation mit derjenigen, welche zwischen linear transformirten Thetafunctionen besteht.''