Ueber die complexe Multiplication der elliptischen Functionen. I. (Q1532206)

Nachdem Herr Kiepert seine Untersuchungen über die Transformation der elliptischen Functionen durch die Einführung der Parametergleichungen zu einem gewissen Abschlusse gebracht hat, wendet er sich nunmehr dazu, die wiederholt in Aussicht gestellten Anwendungen seiner Resultate auf die complexe Multiplication der elliptischen Functionen zu geben. Der erste Abschnitt der vorliegenden Abhandlung enthält die allgemeine Theorie der complexen Multiplication, und zwar geschieht die Untersuchung mit Hülfe der Weierstrass'schen Bezeichnungsweise, welche auch hier sich als sehr zweckmässig erweist. Es ergiebt sich schliesslich das Problem, die zu einer und derselben Determinante gehörigen singulären Invarianten zu berechnen, zu dessen Lösung im zweiten Abschnitte die \(L\)-Gleichungen benutzt werden. Ist nämlich \(n\) die Norm des complexen Multiplicators, und kennt man die \(L\)-Gleichung für die Transformation \(n^{\text{ten}}\) Grades, so gelingt es, für den singulären Wert von \(\frac{\omega'}{\omega}\) immer eine, häufig sogar zwei Wurzeln der \(L\)-Gleichung direct zu finden, und durch Einsetzen ihres Wertes ergiebt sich eine Gleichung zur Bestimmung der singulären Invariante. Es folgt die Behandlung einer grossen Anzahl von Beispielen, welche sich mit Hülfe der \(L\)-Gleichungen für \(n=2,3,4,5,7,9,13,25\) und 49 durchführen lassen. In den folgenden Abhandlungen sollen andere, für die Berechnung der singulären Invarianten noch geeignetere Methoden erläutert werden.