Untersuchungen aus dem Gebiete der hyperelliptischen Modulfunctionen. Zweiter Teil. (Q1532218)

`Bei Besprechung dieser Arbeit müssen wir uns, wie bei dem Referate über den ersten Teil (F. d. M. XXII. 1890. 488, JFM 22.0488.01), aus den dort angeführten Gründen wieder auf eine gedrängte Inhaltsangabe der fünf neuen Abschnitte, die sie enthält, beschränken. Der Abschnitt VIII giebt eine allgemeine Theorie der hyperelliptischen \(X_{\alpha\beta}\) (also ``eigentlicher'' hyperelliptischer Functionen) für \(p=2\). Diese von Herrn F. Klein in seiner Vorlesungen eingeführten, den elliptischen \(X_\alpha\) entsprechenden Jacobi'schen Functionen besitzen neben anderen besonders die wichtige Eigenschaft, dass sie bei linearer Transformation der Perioden lineare und homogene Substitutionen mit constanten Coefficienten erfahren. Dieselben sind zwar schon von Herrn Witting (Math. Ann. XXIX, F. d. M. XIX. 1887. 501, JFM 19.0501.01) behandelt worden; da jedoch dessen Darstellung, wie der Verfasser bemerkt, nicht frei von Unrichtigkeiten ist und auch mehrfach vereinfacht werden kann, so hat sich derselbe entschlossen, im Vorliegenden eine vollständige Theorie dieser Functionen zu entwickeln. Aus diesen \(X_{\alpha\beta}\) werden, gerade wie im Falle, gerade und ungerade Jacobi'sche Functionen abgeleitet, nämlich die \[ \tfrac 12(n^2+1)\quad\text{ Functionen}\quad Y_{\alpha\beta}=\frac 12(X_{\alpha\beta}+X_{-\alpha-\beta} \] und die \[ \tfrac 12\quad \text{Functionen}\quad Z_{\alpha\beta}=X_{\alpha\beta}-X_{-\alpha-\beta}; \] im Falle einer geraden Charakteristik sind die \(Y_{\alpha\beta}\) gerade und die \(Z_{\alpha\beta}\) ungerade Functionen, während im Falle einer ungeraden Charakteristik das Umgekehrte stattfindet. Bei linearer Periodentransformation erfahren die \(Y\;\frac 12N\), die \(Z\) dagegen \(N\) lineare Substitutionen, wobei \(N=(n^4-1)n^3(n^2-1)n\) ist. Da die Gruppe der \(Z\)-Substitutionen für \(n=3\) schon von den Herren Witting und Maschke (Math. Ann. XXXIII. 317, F. d. M. XXI. 1889. 142, JFM 21.0142.03) ausführlich untersucht worden, so beschränkt sich der Verfasser auf die Untersuchung der Gruppe der \(Y\) für den Fall \(n=3\), welcher der IX. Abschnitt gewidmet ist. Für \(n=3\) ergeben sich fünf Functionen \(Y_{\alpha\beta}\), und diese erfahren bei denjenigen linearen Transformationen der Perioden, welche die Charakteristiken in sich überführen, eine Gruppe \(G\) von \(\frac 12N=25920\) linearen homogenen Substitutionen. Die Untersuchung dieser Gruppe wird nach zwei Richtungen durchgeführt. Einmal werden die Untergruppen und dann die Invarianten von \(G\) aufgestellt, d. h. solche rationale ganze Functionen der \(Y\), welche bei allen Operationen von \(G\) in sich übergehen. Dabei werden die Invarianten von \(G\) aus den Invarianten ihrer Untergruppen aufgebaut, wobei die \(Y\) als homogene Coordinaten eines Punktes in einem vierdimensionalen Raume gedeutet und die linearen Substitution der \(Y\) als Collineationen dieses Raumes aufgefasst werden. Die Untersuchung von \(G\) ergiebt fünf Arten von Untergruppen, von denen vier bereits für die Gruppe der \(Z\) von Herrn Witting aufgestellt wurden. Der X. Abschnitt enthält die bereits erwähnte Ableitung der Invarianten der Gruppe \(G\). Es ergeben sich zunächst fünf Invarianten \(J_4,J_6,J_{10},J_{12},J_{18}\) (die Zahlenindices bedeuten die Grade); dazu kommt eine ungeraden Grades \(J_{45}\), deren Quadrat eine ganze Function der fünf zuerst angeführten ist, und ausserdem noch eine besondere Invariante \(40^{\text{sten}}\) Grades \(F_{40}\), die sich ebenfalls durch die ersten fünf darstellt. Den Schluss des Abschnittes bildet der Beweis für die Vollständigkeit des erhaltenen Formensystems. Der IX. Abschnitt beschäftigt sich mit dem ``Formenproblem'' der \(Y\), d. h. mit der Aufgabe, die \(Y\) zu berechnen, wenn die Werte der Invarianten \[ J_4=a,\quad J_6=b,\quad J_{10}=c,\quad J_{12}=d,\quad J_{18}=e \] und ausserdem noch \(J_{45}=f\), natürlich in Uebereinstimmung mit der erwähnten Relation, gegeben sind. Dieses Problem besitzt 25920 Auflösungen, die sämtlich aus einer von ihnen durch Anwendung der Substitutionen der Gruppe \(G\) hervorgehen. Anschliessend an die gewonnenen Untergruppen, werden schliesslich die Anfangsterme einer Resolvente \(36^{\text{sten}}\) und einer Resolvente \(40^{\text{sten}}\) Grades aufgestellt. Der XII. und letzte Abschnitt steht wieder in engem Zusammenhange mit den Untersuchungen des ersten Teiles, indem der Verfasser die im zweiten Teil gewonnenen Resultate auf die in jenem behandelte Multiplicatorgleichung anwendet, und zwar in der Weise, dass er die Identität der eben erwähnten Resolvente \(40^{\text{sten}}\) Grades (in \(Y^2\)) für den Fall \(v_1=v_2=0\) (\(v_1\) und \(v_2\) sind die Argumente der Thetafunctionen) mit jener Multiplicatorgleichung nachweist.