Die partiellen Differentialgleichungen der Abel'schen Thetafunctionen dreier Argumente. (Q1532225)

Der Verf. stellt das Ergebnis seiner Untersuchung im Schlussparagraphen selbst folgendermassen zusammen. Die Curve vierter Ordnung, welche den Abel'schen Integralen vom Range III zu Grunde liegt, sei: \[ f=\sum_{\lambda=0}^4\sum_{\mu=0}^{\lambda-4} A_{\lambda,4-\lambda-\mu}x_1^\lambda x_2^\mu x_3^{4-\lambda-\mu} \] und werde symbolisch mit \( a_x^4=b_x^4=c_x^4=e_x^4\) bezeichnet. Wenn man nun unter Einführung eines willkürlichen Variabelnsystems \(w_1,w_2,w_3\): \[ g(abc)^2(abe)^2[c_uc_we_ue_w+c_u^2c_w^2]-5(abc)^4e_u^2e_w^4=L, \] \[ (abc)^2[a_x^2b_x^2c_x^2+a_xa_wb_xb_wc_x^2]=\overline f=\sum_{\lambda=0}^4\sum_{\mu=0}^{4-\lambda} \overline A_{\lambda,\mu,4-\lambda-\mu}x_1^\lambda x_2^\mu x_3^{4-\lambda-\mu} \] setzt, wenn man ferner das Operationszeichen \[ \delta=\sum_{\lambda=0}^4\;\sum_{\mu=0}^{4-\lambda} \overline A_{\lambda,\mu,4-\lambda-\mu}\;\frac{\partial}{\partial A_{\lambda,\mu,4-\lambda-\mu}} \] einführt, so genügen die sämtlichen 64 Thetafunctionen: \[ Th(u_1,u_2,u_3)=ce^{\eta(u_1,u_2,u_3)}\vartheta(v_1,v_2,v_3), \] welche zu der Curve \(f\) gehören, der Differentialgleichung: \[ \delta Th+\sum_{\alpha,\beta}\;\frac{\partial^2Th}{\partial u_\alpha\partial u_\beta}\;w_\alpha w_\beta+\frac{1}{288}\;L\,Th=0. \] Diese Differentialgleichung hat die Invarianteneigenschaft. In derselben sind sechs einzelne Differentialgleichungen zusammengefasst, welche sich daraus ergeben dadurch, dass die Coefficienten der \(w_1,w_2,w_3\) einzeln gleich Null gesetzt werden.