Systems of spherical harmonics. (Q1532241)

Der Verfasser erweitert den Begriff der Kugelfunctionen, indem er an folgende bekannte Eigenschaft anknüpft: Sind \(r,\vartheta,\varphi\) räumliche Polarcoordinaten, so erhält man die allgemeinste Kugelfunction \(n^{\text{ter}}\) Ordnung [in der bei uns üblichen Bezeichnung \(r^nX_n(\vartheta,\varphi)\)] dadurch, dass man \(\frac 1r\) nach \(n\) beliebigen Richtungen differentiirt und dann mit \(r^{2n+1}\) multiplicirt (vergl. z. B. Thomson und Tait, Theoret. Phys. I, Zusatz B; Maxwell, Electricity and Magnetism, Vol. I, part. I, Cap. IX). Speciell ist \[ r^nP_n(\cos\vartheta)=(-1)^n\;\frac{r^{2n+1}}{n!}\;\frac{\partial^n(\frac 1r)}{\partial z^n}\,, \] falls \(z\) die Axe des Polarcoordinatensystem ist. Die fragliche Erweiterung besteht nun darin, dass man von der erwähnten Eigenschaft als Definition ausgeht, dabei aber an Stelle von \(\frac 1r\) eine andere Lösung der Gleichung \(\varDelta V=0\) setzt, und zwar eine solche, die in Bezug auf \(r\) vom Grade \(-1\) ist. Die allgemeinste Lösung von \(\varDelta V=0\), die diese Eigenschaft hat, ist: \[ \text{(a)}\qquad \tfrac 1r\, F\left[\log\text{tg\,}\tfrac12\,\vartheta\pm i\varphi\right], \] oder, wenn man rechtwinklige Coordinaten statt der Polarcoordinaten einführt: \[ \text{(b)}\qquad \tfrac1r\, f\left(\frac{x\pm iy}{r+z}\right)\,. \] Je nach der Wahl der willkürlichen Function \(f\) erhält man auf diese Weise verschiedene Systeme von Kugelfunctionen. Es wird nun zunächst gezeigt, dass man die Differentiation des Ausdrucks (b) nach einer beliebigen Richtung durch eine Differentiation eines anderen Ausdrucks derselben Form nach der Axe \(z\) ersetzen kann, so dass die allgemeine Kugelfunction die Form hat \[ \frac{\partial^n}{\partial z^n}\left[\tfrac 1r\, f\left(\frac{x\pm iy}{r+z}\right)\right]\,, \] oder auch \[ \frac{\partial^{n+1}}{\partial z^{n+1}}\left[f_1\left(\frac{x\pm iy}{r+z}\right)\right]\,. \] Sodann werden einzelne, aus speciellen Annahmen über \(f\) sich ergebende Functionen untersucht. Nimmt man in dem Ausdruck (a) für \(F\) eine lineare Function, so erhält man die gewöhnlichen Kugelfunctionen zweiter Art (der Verfasser nennt dieselben line-harmonics, während die Kugelfunctionen erster Art point-harmonics genannt werden). Speciell wird \[ \frac{Q_n(\cos\vartheta)}{r^{n+1}}=\frac{(-1)^n}{n!}\;\frac{\partial^n}{\partial z^n}\;\left(\tfrac 1r\log\sqrt{\frac{r+z}{r-z}}\right)\,. \] Daraus ergiebt sich für \(Q_n\) eine Formel, die der Verfasser für neu hält, die indessen schon früher von Hermite und Beltrami abgeleitet ist (cf. F. d. M. XVI. 1884. 452, JFM 16.0452.01; XIX. 1887. 507, JFM 19.0505.01). Uebrigens mag bemerkt werden, dass der Verfasser, abweichend von der üblichen Definition, in den Gleichungen für \(P_n(\cos\vartheta)\) und \(Q_n(\cos\vartheta)\) rechts den Factor \(\frac{1}{2^n}\) hinzufügt; hier ist jener Factor fortgelassen. Die zugeordneten Functionen erster und zweiter Art gewinnt der Verfasser durch \(n\)-fache Differentiationen nach \(z\) aus folgenden Ausdrücken: \[ \frac{(r\pm z)^m}{r},\quad\text{resp}.\quad \tfrac 1r[(z+r)^m+(z-r)^m]\log\;\sqrt{\frac{r+z}{r-z}}\,. \] Er untersucht weiter noch kurz die aus der Differentiation der Functionen \[ \tfrac 1r\text{ arctg }\tfrac yx,\quad\text{resp}.\quad \tfrac 1r\;\text{arctg}(\frac yx).\log\;\sqrt{\frac{r+z}{r-z}} \] hervorgehenden Functionen, die er circulatory harmonics nennt, dehnt die Untersuchungen auf die Cylinderfunctionen aus und leitet zum Schluss für die allgemeinste von \(\varphi\) unabhängige Kugelfunction (d. h. für die allgemeinste von \(\varphi\) unabhängige Lösung der Gleichung \(\varDelta V=0\)) den Ausdruck ab: \[ \int_0^\pi f(z+i\;\sqrt{x^2+y^2}\;\cos\psi)d\psi+\int_0^\infty F[z+i\;\sqrt{x^2+y^2}\;\text{cosh}\,u]du \] (\(\text{cosh}\) ist der hyperbolische Cosinus), sowie die entsprechenden Ausdrücke für den Factor von \(\cos m\varphi\) (resp. \(\sin m\varphi\)) in der Entwickelung von \(V\) nach Sinus und Cosinus der Vielfachen von \(\varphi\). Der Verf. erwähnt, dass die Idee der hier betrachteten Verallgemeinerung schon von Donkin (Philos. Trans. 1857) ausgesprochen, dass der von diesem aufgestellte Ausdruck für die allgemeine Kugelfunction indessen zu complicirt ist, um daraus weitere Schlüsse zu ziehen.