Die Hesse'sche Configuration \((12_4,16_3)\). (Q1532289)

Die Hesse'sche Configuration \((12_4,16_3)\) ist die Configuration solcher 12 Punkte einer Curve dritter Ordnung \(C_3\), die als Tangentialquadrupel zu den drei Schnittpunkten der \(C_3\) mit einer Geraden gehören. Diese Configuration ist kürzlich von Herrn de Vries eingehend untersucht worden (vgl. F. d. M. XX. 1889. 589 u. 591, JFM 20.0589.01; JFM 20.0591.01; JFM 20.0591.02; JFM 20.0591.03; JFM 20.0591.04); die von ihm gefundenen Eigenschaften werden hier in elementarer Form nochmals abgeleitet. Schröter erzeugt die Configuration, indem er von zwei perspectiven Dreiecken ausgeht und deren Ecken wechselweise über Kreuz verbindet; dadruch entsteht ein drittes Dreieck, und diese drei Dreiecke bilden mit den drei Punkten der gemeinsamen Perspectivitätsaxe eine Figur, die - was übrigens bereits Brianchon bekannt war - eine Configuration \((12_4,16_3)\) darstellt. Aus dieser Erzeugung lassen sich die weiteren Eigenschaften einfach ableiten. Zunächst wird die Existenz der ``associirten'' Configuration \((12_4,16_3)\) bewiesen; es folgt die Auflösung der Configuration in zwei einander ein- und umbeschriebene Sechsecke und ihre Zerlegung in drei Vierecke, von denen je zwei vierfach perspectivisch liegen; sodann werden die Eigenschaften der den beiden associirten Configurationen gemeinsamen neun Diagonalpunket erörtert, d. h. der dreimal drei Diagonalpunkte, die in den eben genannten Vierecken auftreten, u. s. w. Neu sind die Sätze, dass diese neun Diagonalpunkte in drei perspecitivische Dreiecke zerfallen, die mit den drei Punkten ihrer gemeinsamen Perspectivitätsaxe selbst eine \((12_4,16_3)\) bilden, und dass vier Seiten des einen Vierecks mit vier Seiten eines zweiten Vierecks acht Tangenten eines Kegelschnitts bilden; solcher Achtecke, resp. solcher Kegelschnitte giebt es neun. Zum Schluss wird gezeigt, dass jede der beiden associiirten Configurationen auf je einer \(C_3\) liegt, dass diese beiden \(C_3\) sich überdies in den neun gemeinsamen Diagonalpunkten schneiden, und dass die 12 Configurationspunkte die drei Tangentenquadrupel von den drei Schnittpunkten eienr \(C_3\) mit einer Geraden sind, womit die Identität der Configuration mit der Hesse'schen Configuration erwiesen ist. Herr de Vries hatte gezeigt, dass es noch eine zweite Configuration \((12_4,16_2)\) giebt, die ebenfalls mit den \(C_3\) zusammenhängt. Sie besteht aus sechs Paaren conjugirter Punkte, und die sechs Tangentialpunkte, die zu jedem Punktepaar gehören, sind die sechs Punkte eines der \(C_3\) einbeschriebenen vollständigen Vierseits. Auch diese Configuration erzeugt Schröter aus zwei perspectivischen Dreiecken und leitet hieraus die eben genannte Beziehung zu den \(C_3\) ab. Ersetzt man die beiden Dreiecke im besonderen durch die Schnittpunkte zweier Geraden mit der \(C_3\), so entsteht diejenige specielle Configuration \((12_4,16_3)\), auf die Hr. Hurwitz bei Gelegenheit eines Schliessungsproblems aufmerksam gemacht hat (vgl. F. d. M. XXII. 1890. 657, JFM 22.0657.03).