Ueber zwei Fälle des Vielkörperproblems. (Q1532492)

Die von Lagrange behandelten Fälle, in welchen das Dreikörperproblem streng lösbar wird, werden hier auf mehr als drei Massenpunkte verallgemeinert. Dem Fall, dass die drei Punkte stets zu einem gleichseitigen Dreieck zusammenstehen, entspricht hier die Annahme, dass die vier Massenpunkte während der ganzen Bewegung die vier Ecken eines regulär bleibenden Tetraeders bilden. Der Verfasser findet, dass im Gegensatz zum Falle des gleichseitigen Dreiecks hier nur geradlinige Bewegungen in Bezug auf den Schwerpunkt möglich sind, bei welchen alle Massenpunkte auf diesen zu (oder von ihm fort) rücken. Der zweite Fall dagegen, in welchem drei Punkte in einer geraden Linie stehen und stets dieselben Abstandsverhältnisse beibehalten, lässt sich ohne jede Einschränkung auf \(n\) in gerader Linie liegende Massenpunkte übertragen. Der Verfasser beweist, dass die Bedingungsgleichungen für die gegenseitigen Entfernungen immer reelle Lösungen besitzen, welche Werte die Massen auch haben, und in welcher Reihenfolge die Punkte auch auf der geraden Linie geordnet seien. Werden die Punkte diesen Bedingungen entsprechend aufgestellt, und mit parallelen Geschwindigkeiten versehen, welche proportional den Abständen vom Schwerpunkt anzunehmen sind, so bleiben die Punkte stets in einer geraden Linie und beschreiben um den Schwerpunkt als Brennpunkt Kegelschnitte.