New research on the series employed in the theories of planets. (Q1532496)

Nach einer Einleitung, in welcher der Verfasser über seine früheren Arbeiten und über die Schwierigkeiten, welche trotz derselben der genauen Erforschung der Stabilität der Bewegung noch entgegen stehen, sich auslässt, kommt er auf das eigentliche Thema, nämlich auf die Integration der Differentialgleichung: \[ \frac{d^2\varrho}{dv^2}+(1-\beta_1)\varrho-\beta_3\varrho^3 =-\gamma_1.\cos[(1-\sigma_1)v-B_1]-\gamma_2\cos[(1-\sigma_2)v-B_2]-\cdots, \] welche nach Weglassung vieler anderen Glieder aus dem Störungsproblem abgesondert werden kann. Vorausgesetzt wird dabei, dass \(\gamma_1,\gamma_2, \dots, \beta_1,\beta_3,\sigma_1,\sigma_2,\dots\) kleine Grössen seien. Zur Lösung dieser Gleichung wendet der Verfasser Methoden an, die aus seinen früheren Arbeiten bekannt sind. So wird erst das Glied \(-\beta_3\varrho^3\) fortgelassen, worauf die Gleichung ohne Mühe vollständig integrirt werden kann; dann wird (unter vorläufiger Annahme, dass rechts nur ein Störungsglied \(-\gamma\cos[(1-\sigma)v-B]\) steht), \(\varrho\) in zwei Bestandteile \(\varrho_0\) und \(R\) zerlegt, von denen ersterer dieselbe Form hat,wie \(\varrho\) selbst in der eben genannten Lösung. Dabei werden aber noch einige Constanten eingeführt, die dann so bestimmt werden, dass in \(R\) einige Glieder verschwinden. Dann wird abermals eine Auswahl getroffen, derart, dass von den Gliedern der Gleichung nur die ``kritischen'' stehen bleiben. Hierauf wird \(\varrho\) abermals in zwei Teile gespalten und, dem entsprechend, auch die Differentialgleichung u. s. w. Endlich werden Reihenentwickelungen angesetzt, von denen der Verfasser meint, dass sie convergiren. Damit ist der erste Teil der Arbeit vollendet. Im zweiten Teil werden von vorn herein elliptische Functionen eingeführt, nachdem die Differentialgleichung durch neue Substitutionen auf die Form \[ \frac{d^2z}{dv^2}+az+bz^2+cz^3=W \] gebracht worden, wo die rechte Seite wieder der rechten Seite der vorigen Gleichung entspricht. Wird zunächst 0 an die Stelle von \(W\) gesetzt, so integrirt sich die Gleichung ohne weiteres durch elliptische Functionen. Mit diesen wird nun weiter operirt. In zwei weiteren Abschnitten werden noch zwei andere Methoden zur Lösung des Problems entwickelt, die ebenfalls auf der Anwendung elliptischer Functionen beruhen. Die Behandlung des Problems ist meist nur in grossen Zügen gegeben, und auch die Convergenzbetrachtungen sind sehr allgemein und nicht durchschlagend. Völlig streng und einwandsfrei sind auch die hier eingeschlagenen Methoden (trotz ihrer Reichhaltigkeit) ebenso wenig, wie die vielen anderen, welche sonst von den Astronomen zur Festellung der Bewegungen nach dem Newton'schen Gesetz ersonnen sind.