Gesammelte mathematische Abhandlungen. 2 Bände. (Q1532650)

Die vorliegenden beiden Bände enthalten eine Sammlung aller von Herrn H. A. Schwarz seit dem Jahre 1863 veröffentlichten mathematischen Abhandlungen mit Ausschluss der ``Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Functionen'' (Göttingen 1881-1885; cf. F. d. M. XV. 373, JFM 15.0373.01, XVII. 419, JFM 17.0419.01). Die einzelnen Abhandlungen sind vor dem Abdruck sorgfältig revidirt; dabei hat eine grössere Zahl von Stellen eine Neubearbeitung erfahren. Zusätze und Anmerkungen, die bei Gelegenheit des Neudrucks hinzuzufügen waren, sind an das Ende eines jeden Bandes gesetzt; dieselben umfassen 22 Seiten im ersten, 21 im zweiten Bande. Die Sammlung wird, abgesehen davon, dass sie eine Uebersicht über die wissenschaftlichen Leistungen des Verfassers giebt, den Fachgenossen darum willkommen sein, weil sie die wichtigen Arbeiten des Herrn Schwarz über Minimalflächen, sowie über conforme Abbildung, die bisher in verschiedenen und zum Teil schwer zu erlangenden Zeitschriften (z. B. Acta Societatis Fennicae) zerstreut waren, in je einem Bande vereinigt und damit leichter zugänglich macht. Ueber die allermeisten der neu abgedruckten Abhandlungen ist seiner Zeit in den Fortschritten ausführlich berichtet. Es kann daher nicht die Aufgabe dieses Referats sein, nochmals auf den Inhalt der einzelnen Arbeiten ausführlich einzugehen; es wird vielmehr genügen, deren Titel anzuführen und dabei auf die früheren Referate zu verweisen. Der erste Band, welcher Herrn Kummer zu seinem 80. Geburtstage gewidmet ist, vereinigt diejenigen Aufsätze des Herrn Schwarz, welche auf die Flächen kleinsten Flächeninhalts Bezug haben. Es sind die folgenden: 1) Ueber die Minimalfläche, deren Begrenzung als ein von vier Kanten eines regulären Tetraeders gebildetes räumliches Vierseit gegeben ist. Berl. Ber. 1865. 2) Bestimmung einer speciellen Minimalfläche. Preisschrift der Berliner Akademie. (F. d. M. III. 409, JFM 03.0409.05). 3) Fortgesetzte Untersuchungen über specielle Minimalflächen. 4) Ueber ein Modell eines Minimalflächenstückes, welches längs seiner Begrenzung vier gegebene Eben rechtwinklig trifft. 5) Beitrag zur Untersuchung der zweiten Variation des Flächeninhalts von Minimalflächenstücken im allgemeinen und von Teilen der Schraubenfläche im besonderen. No. 3), 4) und 5) sind in den Berl. Ber. 1872 veröffentlicht (cf. F. d. m. V. 1873. 412, JFM 05.0412.02; JFM 05.0412.04). 6) Miscellen aus dem Gebiete der Minimalflächen, Wolf Z. XIX, J. für Math. LXXX. 7) Ueber diejenigen Minimalflächen, welche von einer Schar von Kegeln zweiten Grades eingehüllt werden. J. für Math. LXXX. [Ueber No. 6) und 7) ist F. d. M. VI. 517, JFM 06.0517.01, VII. 508, JFM 07.0508.01 berichtet]. 8) Ueber einige nicht algebraische Minimalflächen, welche eine Schar algebraischer Curven enthalten. J. für Math. LXXXVII. (F. d. M. XI. 588, JFM 11.0588.01). 9) Sur les surfaces à courbure moyenne nulle sur lesquelles on peut limiter une portion fine de la surface par quatre droites situées sur la surface. C. R. XCVI. (F. d. M. XV. 643, JFM 15.0643.01). 10) Ueber ein die Flächen kleinsten Flächeninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung. -- Festschrift zum 70. Geburstage des Herrn K. Weierstrass. Acta Soc. scient. Fennicae XV. (F. d. M. XVII. 776, JFM 17.0776.02). 11) Ueber specielle zweifach zusammenhängende Flächenstücke, welche kleineren Flächeninhalt besitzen, als die benachbarten, von denselben Randlinien begrenzten Flächenstücke. Gött. Abh. XXXIV. (F. d. M. XX. 836, JFM 20.0836.01). Band II enthält die übrigen Arbeiten des Herrn Schwarz in ungefähr chronologischer Reihenfolge, nämlich: 1) Elementarer Beweis des Pohlke'schen Fundamentalsatzes der Axonometrie. J. für Math. LXIII (1864). 2) de superficiebus in planum explicabilibus primorum septem ordinum. Inauguraldissertation. J. für Math. LXIV. Ueber die geradlinigen Flächen fünften Grades. J. für Math. LXVII. 4) Ueber einige Abbildungsaufgaben. 5) Conforme Abbildung der Oberfläche eines Tetraeders auf die Oberfläche der Kugel. No. 4) und 5) sind im J. für Math. LXX erschienen (cf. F. d. M. II. 626, JFM 02.0626.01; JFM 02.0626.02). Notizia sulla rappresentazione conforme di un'area ellittica sopra un'area circolare. Annali di mat. (2) III. (F. d. M. II. 627, JFM 02.0627.01). 7) Zur Theorie der Abbildung. Dieser Aufsatz, der zuerst in dem Programme der eidgenössischen polytechnischen Schule in Zürich für das Schuljahr 1869 bis 1870 veröffentlicht, für den Neudruck aber teilweise umgearbeitet ist, enthält den Beweis des folgenden Satzes: ``Wenn in der Ebene (\(u\)), deren Punkte die Werte einer complexen Grösse \(u\) geometrisch darstellen, ein die Ebene überall nur einfach bedeckender, einfach zusammenhängender Bereich \(U\) gegeben ist, dessen Begrenzung von einer überall convexen Linie \(C\) gebildet wird, so giebt es stets eine analytische Function \(s\) (\(u\)) des Arguments \(u\), -- eindeutig erklärt mit dem Charakter einer ganzen Function für alle diejenigen Werte des Arguments \(u\), welche innern Punkten des Gebiets \(U\) entsprechen, endlich und stetig für alle Werte des Arguments \(u\), welche Punkten der Begrenzungslinie \(C\) entsprechen, -- durch deren Vermittelung der Bereich \(U\) zusammenhängend und in den kleinsten Teilen ähnlich auf die Fläche \(S\) eines Kreises abgebildet wird.'' 8) Ueber einen Grenzübergang durch alternirendes Verfahren. Wolf Z. XV (F. d. M. II. 214, JFM 02.0214.02). 9) Ueber die Integration der partiellen Differentialgleichung \(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0\) unter vorgeschriebenen Grenz- und Unstetigkeitsbedingungen. Berl. Ber. 1870. (F. d. M. II. 214, JFM 02.0214.03). 10) und 12) Ueber diejenigen Fälle, in welchen die Gaussische hypergeometrische Reihe eine algebraische Function ihres vierten Elements vorstellt. Verhandl. der Schweizer Naturf. Gesellsch. 1871. J. für Math. LXXV (F. d. M. V. 249, JFM 05.0249.01). 11) Zur Integration der partiellen Differentialgleichung \(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0\). J. für Math. LXXIV (F. d. M. IV. 193, JFM 04.0193.02). -- Ein Teil dieser Arbeit ist auch in Wolf Z. XV. (F. d. M. II. 214, JFM 02.0214.01) veröffentlicht. 13) Ueber ebene algebraische Isothermen. J. für Math. LXXVII. (F. d. M. VI. 249, JFM 06.0249.04). 14) Beispiel einer stetigen nicht differentiirbaren Function. Verhandl. der Schweizer Naturf. Gesellsch. 1873; Arch. d. sc. phys. et natur., Genève, 1873. Die in Rede stehende Function ist folgende: \[ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\;\frac{\varphi (2^{n} x}{2^{n} . 2^{n}}, \] wo \[ \varphi (x)=E(x)+\sqrt{x-E(x)} \] ist, während \(E(x)\) die grösste in \(x\) enthaltene ganze Zahl bezeichnet. 15) Ueber ein vollständiges System von einander unabhängiger Voraussetzungen zum Beweise des Satzes von der Umkehrbarkeit der Differentiationsordnung. Verhandl. d. Schweiz. Naturf. Gesellsch. 1873; Arch. d. sc. phys. et natur., Genève, 1873. 16) Ueber diejenigen algebraischen Gleichungen zwischen zwei veränderlichen Grössen, welche eine Schar rationaler, eindeutig umkehrbarer Transformationen in sich selbst zulassen. J. für Math. LXXXVII (F. d. M. XI. 262, JFM 11.0262.01). 17) Essai d'une démonstration d'un théorème de géométrie. Journ. de Mat. (3) VI. (F. d. M. XII. 535, JFM 12.0535.01). 18) Verallgemeinerung eines analytischen Fundamentalsatzes. Annali di Mat. (2) X. (F. d. M. XIII. 311, JFM 13.0311.01). 19) Auszug aus einem Briefe an Herrn F. Klein. [Ist in der Abhandlung des Herrn Klein: ``Neue Beiträge zyr Riemann'schen Functionentheorie'', Math. Ann. XXI, enthalten; cf. F. D. M. XV. 351, JFM 15.0351.01]. 20) Démonstration élémentaire d'une propriété fondamentale des fonctions interpolaires. Torino Atti. XXI. (F. d. M. XIV. 367, JFM 14.0367.03) 21) Sur une définition erronée de l'aire d'une surface courbe. In dieser Note, die in Herrn Hermite's: Cours professé pendant le \(2^{\text e}\) semestre 1881-1882, second tirage, Paris 1883, p. 35-36, abgedruckt ist, zeigt Herr Schwarz an einem Beispiel, dass Serret's [Serret, Cours de calcul différ. et intégr. II p. 296 (\(1^{\text e}\) édit.), p. 293 (\(2^{\text e}\) édit.)] Definition der Grösse einer krummen Fläche als Grenze der Fläche eines eingeschriebenen Polyeders einer Modification bedarf, die darauf hinauskommt, dem einbeschriebenen Polyeder gewisse, von Serret mit Stillschweigen übergangene Beschränkungen aufzuerlegen. 22) Bestimmung der scheinbaren Grösse eines Ellipsoids für einen beliebigen Punkt des Raumes. Götting. Nachr. 1883. (F. d. M. XV. 733, JFM 15.0733.02). 23) Zur conformen Abbildung der Fläche eines Rechtecks auf die Fläche einer Halbkugel. Götting. Nachr. 1883 (F. d. M. XV. 757, JFM 15.0757.01). 24) Beweis des Satzes, dass die Kugel kleinere Oberfläche besitzt, als jeder andere Köper gleichen Volumens. Götting. Nachr. 1884. (F. d. M. XVI. 232, JFM 16.0232.03). 25) Beweis eines für die Theorie der trigonometrischen Reihen in Betracht kommenden Hülfssatzes. (Ist in der Abhandlung des Herrn G. Cantor im J. für Math. LXXII p. 139-142 enthalten; cf. F. d. M. II. 218, JFM 02.0218.02). 26) Beweis des Satzes, dass unter allen einem spitzwinkligen Dreiecke eingeschriebenen Dreiecken das Dreieck der Höhenfusspunkte den kleinsten Umfang hat. Dieser Beweis ist in Jacob Steiner's Gesammelten Werken II. 728-729 veröffentlicht und deshalb fälschlich Steiner zugeschrieben. 27) Bemerkung zu der Mitteilung des Herrn Weierstrass: Zur Theorie der aus \(n\) Haupteinheiten gebildeten complexen Grössen. Götting. Nachr. 1884 (F. d. M. XVI. 330, JFM 16.0330.02). Druck und Ausstattung der beiden Bände sind mustergültig; und dasselbe gilt auch von den vier, dem ersten Bande beigegebenen, lithographirten Figurentafeln.