Ueber orthogonale Systeme. (Q1532866)

Anknüpfend an die vorangehende Abhandlung des Herrn Lipschitz (JFM 22.0164.01), stellt sich der Verfasser zunächst die Aufgabe, alle orthogonalen symmetrischen Systeme zu finden, und giebt hiervon die folgende einfache Lösung: Man bilde die quadratische Form \[ y^2_1+y^2_2+\cdots+y^2_m-y^2_{m+1}-y^2_{m+2}-\cdots-y^2_n, \] wobei \(m\) eine der Zahlen \(0,1,\dots,n\) ist, und unterwerfe dieselbe einer orthogonalen Substitution: dann ist das Coefficientensystem der transformirten quadratischen Form zugleich orthogonal und symmetrisch; die Mannigfaltigkeit der so erthaltenen Systeme ist gleich \(m(n-m)\), eine Anzahlbestimmung, die schon Herr Lipschitz gewonnen hatte. (I-IV). Nachdem diese Lösung für reelle und complexe Systeme begründet und discutirt worden ist, wird dargelegt, dass die symmetrischen orthogonalen Systeme sich der rationalen Darstellung orthogonaler Systeme, welche von Herrn Cayley (J. für Math. XXXII) gegeben worden ist, (bis auf das Einheitssystem sämtlich) entziehen. (V). Wohl aber kann man sich durch die Cayley'sche Darstellung den symmetrischen Systemen nähern. Es wird nämlich durch die Cayley'sche Darstellung jedem alternirenden Systeme \((\tau_{ik})\) \((i,k=1,2,\dots,n)\) ein orthogonales System zugeordnet, und wenn man nun die Grössen \(\tau_{ik}\) so wählt, dass ihre Determinante verschwindet (wodurch nur für gerades \(n\) eine Beschränkung statuirt wird), und alsdann dieselben so ins Unendliche wachsen lässt, dass ihre Verhältnisse fest bleiben, so gelangt man beim Grenzübergange zu einem orthogonalen symmetrischen Systeme. (VI-VIII). Ein Teil dieser Betrachtungen verliert auch dann seine Gültigkeit nicht, wenn es sich um Systeme handelt, die in Bezug auf ein gewisses Modulsystem orthogonal sind. (IX-XI). Während sich der Cayley'schen Darstellung eine gewisse Mannigfaltigkeit orthogonaler Systeme entzieht, so kann man durch Zusammensetzung zweier nach Cayley'scher Methode erhaltenen Systeme jedes orthogonale System der Determinante +1 erhalten. (XII). Eine von der Cayley'schen principiell verschiedene Darstellung orthogonaler Systeme erhält man, indem man die Substitution in ``elementare'' orthogonale Substitutionen, d. h. in solche Substitutionen auflöst, welche immer nur je zwei der Variabeln transformiren und einen veränderlichen Parameter enthalten. (XIII). Betrachtet man zwei Formensysteme als ``eigentlich aequivalent,'' wenn die Formen des einen Systems in die des anderen durch eine orthogonale Transformation der Determinante +1 übergeführt werden können, so genügen die ``Invarianten'' dieser Aequivalenz gewissen partiellen Differentialgleichungen. Die Zerlegung der orthogonalen Systeme in elementare gestattet in einfacher Weise, ein charakteristisches System von solchen partiellen Differentialgleichungen aufzustellen (XIV). Mit dem Hinweise auf die bemerkenswerte Beziehung dieser Differentialgleichungen zu denjenigen, welche für die Invarianten allgemeiner linearer Transformationen gelten, schliesst die umfangreiche Abhandlung. (XV).