Ueber die Composition der Systeme von \(n^2\) Grössen mit sich selbst. (Q1532867)

Ist \(S^{(1)}=(z^{(1)}_{ik})\) ein System von \(n^2\) unbestimmten Variabeln, und bezeichnet man das aus ihm durch \(r\)-malige Composition mit sich selbst hervorgehende System mit \(S^{(r)}=(z^{(r)}_{ik})\), während \(S^{(0)}\), wie gewöhnlich, dem sogenannten Einheitssystem gleich gesetzt wird, so lassen sich die Elemente jedes dieser Systeme \(S^{(r)}\) als Entwicklungscoefficienten der einzelnen Elemente des zu \((z\delta_{ik}-z^{(1)}_{ik})\) reciproken Systems nach fallenden Potenzen der Variable \(z\) darstellen. Aus dieser genuinen Darstellung der Elemente comoponirter Systeme ergeben sich nun unmittelbar die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, dass in der Reihe \(S^{(0)},S^{(1)},S^{(2)},\dots\) zwei einander für ein beliebiges Primmodulsystem \(P=(M,M',\dots)\) congruente Systeme vorkommen, unter der überall im folgenden festgehaltenen Voraussetzung, dass die Determinante von \(S^{(1)}\) von Null verschieden ist. Genau ebenso nämlich, wie bei der entsprechenden Frage der Zahlentheorie, wird hier beweisen, dass jene Reihe dann und nur dann zwei einander congruente Systeme enthalten kann, wenn in ihr auch ein dem Einheitssystem congruentes System vorkommt. Ist ferner \(S^{(\nu)}\) das erste derartige System, so enthält jene Reihe überhaupt nur genau \(\nu\) incongruente Systeme, nämlich die \(\nu\) ersten \(S^{(0)},S^{(1)},\dots,S^{(\nu-1)}\). Man könnte \(S^{(1)}\) in diesem Falle als ein modulo \(P\) zum Exponenten \(\nu\) gehöriges System bezeichnen, und die Frage ist hierdurch auf die Aufgabe zurückgeführt, alle zu einem beliebigen Exponenten gehörigen Systeme aufzusuchen. Diese letzte Aufgabe kann nun mit Hülfe der zuerst gegebenen Darstellung der Elemente des zu \((z\delta_{ik}-z^{(1)}_{ik})\) reciproken Systems durch die Elemente der componirten Systeme \(S^{(r)}\) gelöst werden. Man findet so, dass \(S^{(1)}=(z^{(1)}_{ik})\) dann, und nur dann, die geforderte Eigenschaft hat, wenn die Elemente des zu \((z\delta_{ik}-z^{(1)}_{ik})\) reciproken Systems für den Modul \(P\) ganzen Functionen von \(z\) mit dem Nenner \((z^{\nu}-1)\) congruent sind. Treten an die Stelle von Congruenzen für den Modul \(P\) Gleichungen, so ergiebt sich als specieller Fall, dass das \(\nu^{\text{te}}\) System \(S^{(\nu)}\) dann, und nur dann, dem Einheitssysteme gleich ist, wenn die Elemente des zu \((z\delta_{ik}-z^{(1)}_{ik})\) reciproken Systems sämtlich ganze Functionen von \(z\) mit dem Nenner \((z^{\nu}-1)\) sind. Hieraus fliesst eine vollständige Darstellung aller Systeme \((z^{(1)}_{ik})\), welche in dem oben angegebenen Sinne zum Exponenten \(\nu\) gehören. Sind nämlich \(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\dots,\varepsilon_n\) \(\nu^{\text{te}}\) Wurzeln der Einheit, welche nicht sämtlich einer Gleichung \(\varepsilon^{\nu_1}=1\) von niederem als dem \(\nu^{\text{ten}}\) Grade genügen, und sind \((c_{ik})\) und \((c_{ik}')\) zwei beliebige zu einander reciproke Systeme, so sind alle zum Exponenten \(\nu\) gehörigen Systeme \(z^{(1)}_{ik}\), und nur sie, in der Form: \[ z^{(1)}_{ik}=\sum^n_{h=1}c_{ih}\varepsilon_hc_{hk}' \] dargestellt. Alle diese Resultate sind unmittelbare Folgerungen aus zwei Abhandlungen des Verfassers vom Jahre 1873 und 1874. Von den weiteren Ergebnissen der auf diese Frage bezüglichen Untersuchungen werden nur die folgenden kurz hervorgehoben. Ist \(F(z)\) eine ganze Function des \(m^{\text{ten}}\) Gades von \(z\), in welcher der Coefficient \(z^m\) gleich Eins ist, so kann jede Potenz \(z^n\) von \(z\), modulo \(F(z)\) betrachtet, als ganze Function des \((m-1)^{\text{ten}}\) Grades von \(z\) dargestellt werden. Betrachtet man nun diese Darstellungen für irgend welche \(m\) aufeinander folgenden Potenzen \((z^{\nu},z^{\nu+1},\dots,z^{\nu+m-1}\), so bilden \(m^2\) Coefficienten ein System, welches aus dem für \((1,z,\dots,z^{m-1})\) gebildeten durch \(\nu\)-malige Composition mit sich selbst entsteht. Dieses letztere System wird demnach dann, und nur dann, durch \(\nu\)-malige Composition das Einheitssystem erzeugen, wenn die zu Grunde gelegte Function \(F(z)\) ein Teiler von \(z^{\nu}-1\) ist, und zwar wird es zum Exponenten \(\nu\) gehören, wenn \(\nu\) die kleinste Zahl ist, für welche \(z^{\nu}-1\) durch \(F(z)\) teilbar ist. Betrachtet man jetzt nur ganzzahlige Systeme und bezeichnet ein solches System als ``ein uneigentliches zum Exponenten \(\nu\) gehöriges Einheitssystem''; nennt man ferner speciell dasjenige System, für welches \(F(z)\) genau der irreductible Teiler von \((z^{\nu}-1)\) ist, ``ein primitives Einheitssystem'', so kann man das Hauptresultat der Untersuchung dahin formuliren, dass es diese primitiven Systeme sind, durch welche sich alle übrigen uneigentlichen Einheitssysteme in der einfachsten Weise darstellen lassen. Wendet man diese Principien auf die Theorie der Substitutionen an, so ergiebt sich u. a. für die cyklischen Substitutionen eine bemerkenswerte Zerlegungweise.