Reduction der Systeme von \(n^2\) ganzzahligen Elementen. (Q1532884)

Jedes System von \(n^2\) gazzahligen Elementen kann durch eine Reihe elementarer Transformationen (d. h. Vertauschung zweier Parallelreihen mit Vorzeichenänderung der einen und Addition einer Reihe zu einer Parallelreihe) auf ein sogenanntes Diagonalsystem, d. h. ein solches reducirt werden, in welchem alle Glieder ausserhalb der Diagonale gleich Null sind, und in dem jedes Diagonalglied ein Teiler aller folgenden ist. Der Beweis dieses für viele Anwendungen wichtigen Satzes beruht auf der Möglichkeit, dass erste Element des Systems durch elementare Transformationen so lange zu verkleinern, bis es gleich dem grössten gemeinsamen Teiler aller \(n^2\) Elemente geworden ist. Alsdann kann man alle übrigen Elemente der ersten Zeile und Colonne zu Null machen. Behandelt man nun das übrig gebliebene System von \((n-1)^2\) Elementen ebenso und fährt so fort, so gelangt man schliesslich zu dem gesuchten Elementarsystem. Da die Producte der \(m\) ersten Diagonalglieder für jedes \(m\) gleich dem grössten gemeinsamen Teiler der Unterdeterminanten \(m^{\text{ter}}\) Ordnung sind, so sind sie und somit auch jene Glieder selbst Invarianten; für jedes ganzzahlige System existirt demnach ein und nur ein reducirtes.