Memoir on the symmetric functions of the roots of equations. (Q1532897)

Der Verfasser bemerkt, dass die Theorie der symmetrischen Functionen eines einzigen Systems von Grössen in einer sehr grossen Anzahl von Abhandlungen durchforscht worden sei; was aber die analoge Theorie für mehrere Systeme von Grössen betreffe, so seien nur die ersten Umrisse einer Theorie in den bezüglichen Abhandlungen von Schläfli und Cayley gegeben. In der Theorie der symmetrischen Functionen eines einzigen Systems von Grössen werden diese letzteren als die Wurzeln einer Gleichung angesehen, und da es bei einer allgemeinen Erörterung passend und vorteilhaft ist, ihre Anzahl unbeschränkt zu lassen, so wird die fundamentale Beziehung in der Gestalt angenommen: \[ \begin{aligned} (1+\alpha_1x)(1+\alpha_2x)\dots & =1+a_1x+a_2x^2+\cdots\\ & =1+(1)x+(2)x^2+\cdots.\end{aligned} \] Statt jedoch ein Product binomischer linearer Functionen einer Veränderlichen, wie eben, anzunehmen, können wir bei \(m\) Systemen von Grössen ein Product nicht homogener linearer Functionen betrachten von der Gestalt \(1+\alpha_{s1}x_1+\alpha_{s2}x_2+\cdots+ \alpha_{sm}x_m\). Als bezeichnend für diesen allgemeinen Fall genügt es, bloss den Fall zweier Grössensysteme ins Auge zu fassen, und der Verfasser betrachtet demgemäss die beiden Grössensysteme: \[ \begin{matrix}\alpha_1, & \alpha_2, & \dots, & \alpha_n, \\ \beta_1, & \beta_2, & \dots, & \beta_n,\end{matrix} \] in denen das \(n\) jedes Systems als unendlich betrachtet wird. Die fundamentale Relation ist demnach: \[ \begin{aligned} & (1+\alpha_1x+\beta_1y)(1+\alpha_2x+\beta_2y)\dots(1+\alpha_sx+\beta_sy) \dots\\& =1+a_{10}x+a_{01}y+a_{20}x^2+a_{11}xy+a_{12}y^2+\cdots+a_{pq}x^py^q+\cdots\\ & =1+\sum\alpha_1x+\sum\beta_1y+\sum\alpha_1\alpha_2x^2+\sum\alpha_1\beta_2xy +\sum\beta_1\beta_2y^2+\cdots.\end{aligned} \] Die allgemeinste symmetrische zu betrachtende Function ist \[ \sum\alpha^{p_1}_1\beta^{q_1}_1\alpha^{p_2}_2\beta^{q_2}_2\alpha^{p_3}_3 \beta^{q_3}_3\dots, \] sumbolisch dargestellt als \[ (\overline {p_1q_1} \;\overline {p_2q_2} \;\overline {p_3q_3} \dots), \] wobei die Summation bezüglich der Ausdrücke durch Permutation der \(n\) Zeiger \(1,2,3,\dots,n\) bewirkt wird. Das Gewicht (weight) der Function muss als zweiteilig angesehen werden; es besteht aus den beiden Zahlen \[ \sum p=p_1+p_2+\cdots, \quad \sum q=q_1+q_2+\cdots, \] und der Verfasser spricht demgemäss von dem Zwiegewichte (biweight) \(\sum p\), \(\sum q\). Die Summe \(\sum p+\sum q\) ist das Gesamtgewicht oder kurz das Gewicht; mit einer beliebigen Zahl \(w\) ist ein Gewicht \(w\) und ein Zwiegewicht verknüpft, welches jeder Zusammensetzung von \(w\) mittels zweier Zahlen, mit Einschluss von Null als einer Zahl, entspricht. In einer solchen Zusammensetzung ist die Folge der Teile zu beachten; so sind 21 und 12 verschiedene Zusammensetzungen von 3. Wir haben dann Teilungen der zweiteiligen Zahl, welche das Zwiegewicht bezeichnet. So ist \((\overline {p_1q_1} \;\overline {p_2q_2} \; \overline {p_3q_3}\dots)\) eine teilung des Zwiegewichts \(\sum p\), \(\sum q\), während die Teile, welche selber zweiteilig sind und welche daher Zwieteile (biparts) genannt werden, \(\overline {p_1q_1} \; \overline {p_2q_2}, \; \dots\) sind. Gemäss dem üblichen Gebrauche werden Wiederholungen von Zwieteilungen durch Potenzsymbole, wie \((\overline {p_1q_1}^2)\equiv(\overline {p_1q_1} \; \overline {p_1q_1})\) bezeichnet. \[ \begin{multlined} (1+\alpha_1x+\beta_1y)(1+\alpha_2x+\beta_2y)\dots\\ =1+(\overline {10})x+(\overline {01})y+\cdots+(\overline {10}^3)x^3 +(\overline {10}^2, 01)x^2y+(\overline {10}, \overline {01}^2)xy^2+(\overline {01}^3)y^3+\cdots.\end{multlined} \] Hierbei bedeuten die Symbole der rechten Seite gewisse symmetrische Functionen von \(\alpha_1, \; \alpha_2,\) \(\alpha_3, \; \dots, \; \beta_1, \; \beta_2, \; \beta_3, \; \dots,\) die ``einfach-unitär '' (single-unitary) genannt werden können. Dieselben sind fundamental, insofern als sie dazu dienen, alle andern rationalen ganzen Functionen auszudrücken, und das allgemeine Problem besteht darin, solche anderen rationalen ganzen symmetrischen Functionen oder aber die allgemeine Function \((\overline {p_1q_1}^{\pi_1} \; \overline {p_2q_2}^{\pi_2} \; \overline {p_3q_3}^{\pi_3}\dots)\) in Gliedern mit diesen einfach-unitären summetrischen Functionen auszudrücken. Die Arbeit enthält mannigfaltige interessante Untersuchungen und insbesondere Probetafeln symmetrischer Functionen für die Teilungen der einzelnen Zwiegewichte 11, 21, 31 und 22.