An arithmetical problem (Q1532920)

Ist \(N\) das Product von \(n\) verschiedenen Primzahlen \(a_1,a_2,\dots,a_n\) so fragt es sich, auf wie viele Weisen \(N\) in \(m\) Factoren aufgelöst werden kann. Die gesuchte Zahl ist: \[ \frac 1{(m-1)!} \left\{ m^{n-1} - {m-1\choose 1}(m-1)^{n-1} +{m-1 \choose 2} (m-2)^{n-1}-\cdots\right. \] \[ \left.\cdots-(-1)^{m-1}{m-1 \choose m-2}2^{n-1} + {m-1 \choose m-1} (-1)^{m-1}. 1^{n-1} \right\}. \] Ist dagegen \(N=a^{\alpha_1}_1.a^{\alpha_2}_2\dots a^{\alpha_n}_n\), so giebt dieser Ausdruck die Anzahl der Zerlegungen von \(N\) in zwei relativ prime Factoren an.