On Dirichlet's method of finding the value of Gaussian sums (Q1532937)

Der Summe \[ \tfrac 12 f(0)+f(1)+\cdots+f(r-1)+\tfrac 12 f(r) \] wird unter anderen die für die Summirung der Gauss'schen Reihen sehr bequeme Form gegeben: \[ \lim_{t=\infty}\;\sum_{h,k}\int^{(k+1)r}_{kr} f(x-kr) e^{2(2k\lambda+h)x\pi i}dx\;\left(\begin{aligned} & h=0,1,2,\dots,2\lambda-1\\ & k=0,\pm1,\pm2,\dots,\pm t \end{aligned}\right), \] worin \(\lambda\) eine beliebige ganze Zahl bedeutet; hieraus wird die (für \(\lambda=2\) von Dirichlet bewiesene) fundamentale Relation: \[ \sum^{2\mu-1}_{k=0}\;e^{\frac {\lambda i}{\mu} k^2\pi}=\left|\sqrt{\frac {\mu}{\lambda}} \right|\;\sum^{2\lambda-1}_{h=0}\;e^{\frac {\mu}{\lambda i}h^2\pi}\;\int^{+\infty}_{-\infty}\;e^{y^2\pi i} dy \] abgeleitet, welche unmittelbar zur Wertbestimmung der allgemeinen Gauss'schen Reihen führt. Setzt man \[ G\left(\frac {\lambda i}{\mu})\right)= \tfrac 12\,\sum^{2\mu-1}_{k=0}\;e^{-\frac {\lambda i}{\mu}k^2\pi}, \quad (\sqrt {re^{2vi}})=|\sqrt {r}| e^{vi}, \] so ergiebt sich hieraus \[ \left( \sqrt {\frac {\lambda i}{\mu}} \right) G\left(\frac {\lambda i}{\mu} \right)=G\left( \frac {\mu}{\lambda i} \right) \] Setzt man \[ G\left(\frac {2\lambda i}{\mu} \right) = (\sqrt {\mu}) \left(\frac {\lambda}{\mu}\right) , \quad G\left(\frac {\mu}{2\lambda i} \right) =(\sqrt {2\lambda i})\left( \frac {\mu}{\lambda} \right), \] so stimmen \((\frac {\lambda}{\mu}), (\frac {\mu}{\lambda})\) mit den Legendre-Jacobi'schen Zeichen überein, welche auf diese Weise analytisch dargestellt sind.