Remarks on the function of a real variable \(x\), which Gauss denoted by \([x]\). (Q1532947)

Bezeichnet \(r\) irgend eine ganze, die Zahl \(x\) übersteigende Zahl, so gilt offenbar die Formel \[ E(x)=[x]=\tfrac 12\sum^{h=r-1}_{h=1} (1+s(x-h)), \] wo \(s(x)\) das Vorzeichen von \(x\) bezeichnet. Mit Hülfe dieses Ausdruckes für \([x]\) lassen sich leicht die Formeln von Busche und Stern (vergl. die beiden vorigen Referate (JFM 22.0208.02; JFM 22.0209.01)) verificiren. So wird beispielsweise infolge der angegebenen Formel \[ \sum_k\left[\frac {km}n\right]=\tfrac 12(m-1)(n-1)-\tfrac 12\sum_{h,k}s \left(\frac kn-\frac hm\right)\left( \begin{aligned} & h=1,2,\dots,m-1\\ & k=1,2,\dots,n-1\end{aligned} \right), \] und hieraus folgt leicht die bekannte Formel \[ \sum^{k=n-1}_{k=1}\left[\frac {km}n\right]=\tfrac 12(m-1)(n-1), \] wo überall \(m\) und \(n\) ungerade Zahlen bedeuten. Insbesondere werden auch die beiden im vorigen Referate (siehe JFM 22.0209.01) angegebenen Formeln auf dem bezeichneten Wege abgeleitet.