On the conditions under which two quadratic forms with rational coefficients can be transformed into each other (Q1532965)

In der vorliegenden Arbeit werden die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür aufgestellt, dass eine gegebene quadratische Form \(f\) von \(n\) homogenen Veränderlichen und mit rationalen Zahlencoefficienten sich vermöge einer linearen Substitution mit rationalen Zahlencoefficienten in eine andere eben solche quadratische Form \(g\) oder in ein rationales Vielfaches einer solchen Form \(g\) transformiren lässt. Dieses Problem ist offenbar gleichbedeutend mit der Aufgabe, für eine vorgelegte quadratische Form \(f\) ein vollständiges System von solchen Grössen anzugeben, welche gegenüber den Transformationen der genannten Art invariant sind. Der für die Lösung dieser Aufgabe wesentliche Gedanke besteht nun darin, dass man die Bedingungen für die Transformirbarkeit zunächst in Bezug auf irgend einen Primzahlmodul \(p\) prüft, ein Gedanke, welcher auf den fundamentalen Begriff des Geschlechtes führt [Verf., Acta Math. 7, 201--258 (1885; JFM 17.0159.01)]. Die Invarianten des Geschlechtes sind der Trägheitsindex \(J\), sodann die Determinante \(\varDelta\) der nunmehr ganzzahlig angenommenen Form \(f\), sowie gewisse grösste gemeinsame Teiler ihrer Unterdeterminanten und endlich die sogenannten Charaktere der Form (vergleiche die folgenden Abhandlungen des Verfassers: ``Sur la théorie des formes quadratiques à coefficients entiers'',Mém. Sav. Étr. (2) 29, No. 2. 180 p. (1887; JFM 20.0196.01), art. VI-XI; ``Untersuchungen über quadratische Formen'', Acta Math. (loc. cit.); ``Über positive quadratische Formen'', J. Reine Angew. Math. 99, 1--9 (1885; JFM 17.0158.02)]. Diese Charaktere treten auf in Gestalt Legendre'scher Symbole; sie können vollständig erschlossen werden aus den Werten der verschiedenen Summen \(\sum e^{\frac {2\pi iaf}N}\), wo \(n\) und \(\alpha\) zu einander prime ganze Zahlen bedeuten und die Veränderlichen in der Form \(f\) Restsysteme nach dem Modul \(N\) zu durchlaufen haben. Wenn alle Invarianten des Geschlechtes bei zwei Formen übereinstimmen, d. h. wenn die beiden Formen demselben Geschlechte angehören, so lassen sich dieselben nach einem fundamentalen Satze von St. Smith mittels rationaler Transformationen von der Determinante 1 in einander überführen, und zwar derart, dass die in den Nennern der Substitutionscoefficienten auftretenden ganzen Zahlen prim zu \(2\varDelta\) sind. Es handelt sich nun wesentlich darum, aus den eben aufgezählten Invarianten des Geschlechtes diejenigen auszusondern, welche überhaupt bei allen rationalen Transformationen ungeändert bleiben. Zu dem Zwecke bestimme man zunächst alle diejenigen Primzahlen, welche in der Determinante \(\varDelta\) der Form in ungeraden Potenzen aufgehen. Das Product aller dieser Primzahlen, mit dem Vorzeichen \((-1)^J\) genommen, heisse \(A\); es ist offenbar, dass diese Grösse \(A\) bei allen linearen Transformationen mit rationalen Coefficienten ungeändert bleibt. Ferner lässt sich immer aus den Resten der Form \(f\) für genügend hohe Potenzen von \(p\) als Modul je eine Grösse \(C_p\) bilden, welche nur der Werte \(+1\) und \(-1\) fähig ist, und welche diesen Wert bei keiner rationalen umkehrbaren Transformation ändert. Für alle diejenigen ungeraden Primzahlen, welche weder in der Determinante noch in dem Generalnenner der Coefficienten von \(f\) wirklich vorkommen, findet sich diese Einheit \(C_p\) von vorn herein gleich \(+1\), so dass sie überhaupt nur für eine endliche Anzahl von Primzahlen gleich \(-1\) sein kann. Der Beweis für die Invarianz von \(C_p\) beruht auf einer merkwürdigen Relation, welche aussagt, dass das Product sämtlicher \(C_p\) lediglich schon durch \(J\) und \(A\) bestimmt ist. Andrerseits bestimmen die Grössen \(C_p\) und \(A\) auch umgekehrt alle Reste der Form \(f\) genügend hohe Potenzen eines Primzahlmoduls \(p\) Bezeichnet \(B\) das Product allert ungeraden Primzahlen, für welche \(C_p\) gleich \(-1\) ist, so ist dem Gesagten zufolge \(B\) eine Invariante der Form \(f\) gegenüber irgend einer rationalen Transformation, und es gilt nun das wichtige Theorem: Zwei rationale quadratische Formen mit \(n\) Veriabeln können dann, und nur dann, rational in einader transformirt werden, wenn sie gleiche Invarianten \(J\), \(A\) und \(B\) haben. Der Trägheitsindex \(J\) ist eine Zahl awischen 0 und \(n\); \((-1)^JA\) und \(B\) sind positive, aus lauter verschiedenen Primfactoren gebildete Zahlen; \(B\) ist eine ungerade Zahl. Der Verfasser zeigt, dass es auch umgekehrt zu jedem mit diesen Bedingungen verträglichen Systeme von Zahlen \(J,A,B\) wirklich quadratische Formen von \(n\) Veränderlichen giebt. Zugleich findet man auch den Wert der niedrigsten durch die in Rede stehende Transformation zu erzielenden Determinante \(\varDelta\); derselbe ist nämlich gleich \(AC^2\), wo \(C\) den Quotienten aus \(B\) und dem grössten gemeinsamen Teiler von \(A\) und \(B\) bedeutet. Um die zweite Frage zu lösen, nämlich die Frage nach den Bedingungen dafür, dass \(f\) mittels rationaler Transformation in ein rationales Vielfaches dieser Form \(f\) selbst transformirt werden kann, ist nun noch zu untersuchen, in welchen Hinsichten die Zahlen \(J,A,B\) der verschiedenen rationalen Vielfachen einer und derselben Form \(f\) sämtlich mit einander übereinstimmen, und in welchen nicht. Um diese Frage für die Einheiten \(C_p\) zu entscheiden, müssen wir zusehen, wie sich die Einheit \(C_p\) einer Form \(f\) von der entsprechenden Einheit der Form \(Mf\) unterscheidet, wo \(M\) irgend eine ganze Zahl bedeutet. Ist dies geschehen, so lassen sich die Invarianten der quadratischen Form \(f\) in dem jetzt betrachteten Sinne, d. h. die Invarianten der diophantischen Gleichung 2. Grades \(f=0\), wirklich aufstellen; es zeigt sich, dass dabei die Fälle einer geraden und einer ungeraden Zahl \(n\) von Veränderlichen zu unterscheiden sind. In beiden Fällen lässt sich eine einzige Invariante \(D\) derart definiren, dass dann das Theorem gilt: Wenn 2 quadratische Formen von \(n\) Veränderlichen in den absoluten Werten ihrer Zahlen \(n-2J\) und in ihren Invarianten \(D\) übereinstimmen, so kann jede von ihnen rational in ein rationales Vielfaches der anderen transformirt werden. Die gewonnenen Theoreme gestatten eine grosse Zahl von Anwendungen, von denen hier nur folgende erwähnt sein mögen: Eine Form \(f\) ist dann, und nur dann, in \(-f\) rational transformirbar, wenn ihre Variabelnzahl \(n\) gerade, ihr Trägheitsindex gleich \(\frac 12n\) ist und ihre Determinante keine Primzahl von der Form \(4l+3\)in ungerader Potenz enthält. Und ferner: Die homogene diophantische Gleichung 2. Grades \(f=0\) ist in rationalen Zahlen lösbar: 1) wenn \(f\) eine indefinite Form mit 5 oder mehr Variabeln ist; 2) wenn \(f\) eine quaternäre indefinite Form ist, deren Invariante \(D\) nur erste Potenzen von Primzahlen enthält; 3) wenn \(f\) eine ternäre indefinite Form mit der Invariante \(D=1\), und 4) wenn \(f\) eine binäre Form mit der Invariante \(D=-1\) ist.