On a funicular solution of Buffon's ``problem of the needle'' in its most general form. (Q1532991)

Nach einem kurzen historischen Ueberblick über das Buffon'sche Nadelproblem verallgemeinert der Verfasser die Aufgabe, um der Theorie ``the finishing stroke'' zu geben, indem er die Nadel durch eine beliebige Anzahl mit einander fest verbundener Figuren in einer Ebene ersetzt. Er führt den Begriff der conjunctiven Wahrscheinlichkeit für den Fall ein, dass alle Figuren ein und dieselbe Linie schneiden, und den Begriff der disjunctiven Wahrscheinlichkeit für den Fall, dass eine oder mehrere Figuren dieselbe Linie schneiden. Sind \(n\) Figuren gegeben, und bezeichnet \(p_i\) die Summe der conjunctiven, \(\omega_i\) die der disjunctiven Wahrscheinlichkeiten, so ist ``by a universal theorem of logic'': \[ \omega_{n+1} = {\sum^{i=n+1}_{i=1}} {(-1)^{i+1}}p_i \] und \[ p_{n+1} = {\sum^{i=n+1}_{i=1}} {(-1)^{i+}}\omega_i. \] Die Methode des Verfassers besteht nun darin, dass er die gegebenen Figuren der Reihe nach ordnet und sie dann derart mit einem Bande umzieht, das Band sich zwischen je zwei aufeinander folgenden Figuren kreuzt, und dann so, dass es sich nicht kreuzt. Aus der Länge dieser Bandteile werden dann unter Anwendung des Barbier'schen Princips die gesuchten Wahrscheinlichkeiten bestimmmt. Der Verfasser discutirt sein Verfahren ausführlich für den Fall \(n = 3\). Zum Schlusse wird der Fall betrachtet, dass die gegebenen Figuren aus zwei begrenzten geraden Strecken bestehen. Ueber den Fall von drei geraden Strecken sagt Herr Sylvester: ``Die Gesamtheit der Fälle für 3 gerade Linien ist derartig, dass allein schon ihre vollständige Aufzählung ein besonderes Studium erfordern würde; deshalb überlasse ich es anderen, sowohl hinsichtlich der Principien, als auch der Einzelheiten den Gegenstand weiter zu verfolgen.''