Summation of certain finite series. (Q1533051)

Es seien \(m\), \(n\) \((<m)\), \(q\) \((>n)\) ganze positive Zahlen, \[ (m,n,q)=\sum_{0}^{\varrho}(-1)^{\nu}{m-2\nu \choose n}{q \choose \nu} \] die endliche Reihe derjenigen Glieder, die vor dem ersten verschwindenden abbricht. Dann ist \((m,n,q)=0\): \[ 1) \quad \text{für} \quad m\geqq n, \quad q\overset {=} < \tfrac{1}{2}(m-n) \quad\text{und} \] \[ 2) \quad \text{für} \quad q>\frac{m-n}{2},\quad m\geqq 2q. \quad \quad \text{Für} \quad q>\frac{m-n}{2},\quad m<2q-1 \quad\text{ist} \] \[ (m,n,q)+(-1)^{n+q}(2q+n-1-m,n,q)=0. \] Es wird sodann \(m\) specialisirt, eine Recursionsformel aufgestellt und die Formel \[ \left(q+\frac{n-1}{2},n-1,q\right)=(-1)^{\frac{q-n}{2}}\frac{q!(q-n)!}{\left ( q-\frac{n-1}{2} \right ) ! \left ( \frac{q-1}{2}-\frac{n-1}{2} \right ) ! \left ( \frac{q-1}{2} \right ) } \] abgeleitet, worin \(n\), \(q(>n)\) ungerade positive Zahlen sind.