Mitteilungen aus der Integralrechnung. (Q1533119)

Zuerst wird aus bekannten Eigenschaften der Bessel'schen Function \(J(x) =\frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} e^{ix \cos a} da\) und der Formel von Lipschitz \[ \int_0^{\infty} e^{-ar} J(\beta r) dr= \frac{1}{\sqrt{a^2 + \beta^2}} \] die Formel von Weber \[ \int_0^{\infty} J(z) \log zdz= \varGamma' (1)- \log 2 \] hergeleitet; dann als Consequenz der ersten gefunden: \[ \int_0^{\infty} \frac{\sin (z+u)}{z+u}\;J(z)dz= \frac{\pi}{2} J(u), \] dann die Transformation \[ \int_0^{\infty} \frac{da}{\varGamma(a)} =e+\int_0^{\infty} \frac{e^{-x} dx}{\pi^2 + (\log x)^2} \] ausgeführt; zuletzt (wenn \(E(x)\) die grösste ganze Zahl unter \(x\) bezeichnet) die Darstellung \[ \sum_{k=1}^{\frac 12(m-1)} E\left( \frac{hm}{m} + \tfrac 12 \right) = \tfrac 18 (m-1)(n-1)- \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} \frac{\sin (m+n-1)z \sin(m-1) nz \sin (n-1) mz\,dz}{\sin z\sin 2mz \sin 2nz} \] gewonnen.