Ueber den Fundamentalsatz der Theorie der Differentialgleichungen. (Q1533129)

Die Note enthält einen neuen Beweis für die Existenz eines regulären Integrals der Differentialgleichung \[ \frac{dy}{dx} =c_0 +{\mathfrak P}_0 (x,y) = {\mathfrak P} (x,y), \] wo \({\mathfrak P}_0 (x,y)\) eine nach ganzen positiven Potenzen fortschreitende Reihe bedeutet, die für \(x=0,\; y=0\) verschwindet und in der Umgebung dieses Wertepaars convergirt. Als bekannt wird vorausgesetzt, dass der Gleichung \(\frac{dy}{dx} = {\mathfrak P}' (x)\) durch\(y= \text{const.} + {\mathfrak P} (x)\) genügt wird, wo \({\mathfrak P} (x)\) denselben Convergenzbereich besitzt, wie \({\mathfrak P}'(x)\), und das folgende Gleichungssystem gebildet: \[ \frac{dy_1}{dx} =c_0, \quad y_1 =c_0 x; \quad\frac{dy_2}{dx}={\mathfrak P}'(x,y_1)={\mathfrak P}_2'(x), \quad y_2 = {\mathfrak P}_2 (x); \] \[ \frac{dy_3}{dx} = {\mathfrak P} (x,y_2) = {\mathfrak P}_3'(x), \quad y_3 = {\mathfrak P}_3 (x) ; \dots ; \frac{dy_n}{dx}={\mathfrak P}(x,y_{n-1})={\mathfrak P}_n'(x),\;y_n={\mathfrak P}_n (x), \] in welchem alle \({\mathfrak P}_n (x)\) für \(x=0\) verschwinden. Von den so erhaltenen Reihen \({\mathfrak P}_n'(x)\) und \({\mathfrak P}_n (x)\) wird gezeigt, dass sie alle in einem bestimmten Bereich convergiren und sich mit wachsendem \(n\) bezüglich den Grenzreihen \({\mathfrak P}'(x)\) und \({\mathfrak P}(x)\) nähern, derart, dass \({\mathfrak P}'(x)\) mit \({\mathfrak P}_n' (x)\) und \({\mathfrak P}(x)\) mit \({\mathfrak P}_n(x)\) in den \(n\) ersten Gliedern übereinstimmen, und dass endlich \[ {\mathfrak P}'(x) =\lim {\mathfrak P}_n'(x)=\frac{d}{dx}\;\lim {\mathfrak P}_n (x) =\frac{d}{dx} {\mathfrak P}(x) \] ist. Da nun \[ {\mathfrak P}'(x)=\lim{\mathfrak P}(x,{\mathfrak P}_{n-1}(x)) ={\mathfrak P} (x,{\mathfrak P} (x)) \] ist, so folgt der zu beweisende Satz.