Singular solutions of ordinary differential equations. (Q1533131)

Die Theorie der singulären Lösungen einer gewöhnlichen Differentialgleichung wird unmittelbar aus dieser selbst abgeleitet auf Grund der Darstellung der Integrale in Reihen, welche Briot und Bouquet in ihrer klassischen Abhandlung J. de l'Éc. Pol. Cah. XXXVI entwickelt haben. So wird jede directe oder indirecte Bezugnahme auf den Begriff einer vollständigen Lösung vermieden und damit auch die Schwierigkeiten, die in der älteren Theorie der singulären Lösungen von Herrn Darboux zuerst aufgedeckt worden sind. Im ersten Abschnitt wird die Differentialgleichung erster Ordnung \[ f(x,y,p)=0, \quad p= \frac{dy}{dx} \] betrachtet, worin \(f\) eine rationale, in Bezug auf \(p\) irreductible Function von \(x,y,p\) bedeutet. Durch eine passende Transformation können nach Briot und Bouquet alle gewöhnlichen Lösungen von \(f=0\), welche durch einen gegebenen Punkt \(x=0\), \(y=0\) gehen, auf die Form \(y= Vvx^m\) reducirt werden, wo \(V\) durch eine algebraische Gleichung als Function von \(v\) und \(x\) gegeben ist, und \(v\) mit \(x\) durch eine Differentialgleichung \[ (1) \qquad \frac{dv}{dx}\;x= \varphi (v,x) \] verbunden ist, in der \(\varphi\) für \(x=0\), \(v=0\) verschwindet. Unter den verschiedenen möglichen Entwickelungen von \(V\) nach Potenzen von \(v\) und \(x\) existirt, falls \(f(x,y,p)=0\) eine singuläre Lösung hat, d. h. wenn die Discriminante von \(f\) nach \(p\), gleich Null gesetzt, die Gleichung \(f=0\) befriedigt, stets eine Entwickelung von \(V\), für welche die Gleichung (1) zwischen \(v\) und \(x\) in die Form \[ \frac{dv}{dx}\;x= \frac{\psi (v,x)}{\psi(v, x)}\;\chi (v,x) \] degenerirt, und daher durch \(\psi (v,x)=0\) befriedigt wird. Dies ist die singuläre Lösung, welche die Differentialgleichung also nicht als solche, sondern durch das Verschwinden eines gemeinschaftlichen Factors befriedigt. Der zweite Abschnitt enthält die Ausdehnung der entwickelten Theorie auf Differentialgleichungen höherer Ordnung. Im dritten Abschnitt werden die singulären Lösungen derjenigen Differentialgleichungen \(n^{\text{ter}}\) Ordnung discutirt, deren allgemeine Lösung in der Form \[ \varphi(x,y,c_1, \dots,c_m) =0 \] darstellbar ist, wo \(\varphi\) in Bezug auf \(x,y\) eindeutig ist in einem gewissen Bereiche und rational in Beziehung auf die Parameter \(c_1, \dots, c_m\), während zwischen den letzteren \(m-n\) algebraische Gleichungen bestehen.