Sopra una formola data da Halphen relativa alle trasformazioni delle equazioni differenziali lineari. (Q1533148)

Halphen hat in seiner preisgekrönten Schrift ``Sur la réduction des équations différentielles linéaires aux formes intégrables'' in den Mém. Sav. Étr. (2) XXVIII. 117 ohne Beweis eine allgemeine Formel mitgeteilt, die das Resultat des Ueberganges einer linearen Differentialgleichung \(q^{\text{ter}}\) Ordnung in die transformirte durch die Substitution \(\frac{dx}{dX}= \mu (X)\), \(Y= yu(X)\) explicite angiebt. Der Verfasser fügt einen sehr einfachen Beweis der Formel hinzu, wobei sich ergiebt, dass der Ausdruck für die in ihr auftretenden Zahlencoefficienten \(B_r (s, k_1, k_2)\) zu modificiren ist. Statt des dort angegebenen Wertes \[ \frac{s! (q-s)!}{(s-k_1 -k_2 -\dots)! (q-s -r)! k_1! k_2!} \] ist zu setzen \[ \frac{r! s!}{(s-k_1 -k_2 \dots -k_r)! k_1! \dots k_r!} \]