Zur Theorie der vollständigen Lösungen der Differentialgleichungen erster Ordnung zwischen zwei Variabeln. (Q1533156)

Ist \(y= \varphi(x,c)\) das vollständige Integral der Differentialgleichung \(f(x,y,y')=0\), so weiss man, dass der Wert von \(c\) als Function von \(x\), der durch die Enveloppe \(\frac{\partial \varphi}{\partial c} =0\) bestimmt wird, \(y= \varphi(x,c)\) wiederum in eine und zwar singuläre Lösung von \(f=0\) überführt. Nach der Art aber, wie man die singulären Lösungen abzuleiten pflegt, erscheint es als selbstverständlich, dass jede Lösung, die durch einen von \(x\) abhängigen Wert der Integrationsconstanten herbeigeführt wird, eine Enveloppe darstellen müsse. Dies is nun, wie der Verf. nachweist, keineswegs der Fall. Vielmehr giebt es im allgemeinen unendlich viele Functionen \(c\) von \(x\), die eine andere vollständige Lösung der Differentialgleichung \(f=0\) in eine andere vollständige Lösung derselben transformiren, und zwar erhält man sie alle durch Integration der Differentialgleichung \((n-1)^{\text{ter}}\) Ordnung \[ \frac{\partial f}{\partial y'} + \tfrac 12\;\frac{\partial^2 f}{\partial y'^2}\;\frac{\partial \varphi}{\partial c}\;\frac{\partial c}{\partial x} + \dots + \frac{1}{n!}\;\frac{\partial^n f}{\partial y'^n}\;\frac{\partial \varphi}{\partial c} \left(\frac{\partial c}{\partial x} \right)^{n-1} =0, \] worin \(y= \varphi\), \(y'= \frac{\partial \varphi}{\partial x}\) zu setzen ist. \(f\) ist dabei als vom \(n^{\text{ten}}\) Grade in \(y'\) vorausgesetzt.