Allgemeine integrirbare Formen von Differentialgleichungen erster Ordnung und ihre Kriterien. (Q1533157)

Einem Satze des Herrn Maximowitsch zufolge, dessen Beweis bisher nur in russischer Sprache veröffentlicht ist (Kasan-Ges. 1885; C. R. CI. 809, s. F. d. M. XVII. 1885. 305, JFM 17.0305.01; JFM 17.0305.02), muss jede Differentialgleichung erster Ordnung, die sich durch eine endliche Anzahl von Quadraturen integriren lässt, in eine lineare Differentialgleichung transformirbar sein. Der Verf. stellt sich nun die Frage, wann eine Differentialgleichung von der Form \[ (1) \qquad Z= \varphi(X), \] worin \(X\) und \(Z\) gegebene Functionen von \(x,y\) sind, \(p= dy/dx\) ist und \(\varphi\) eine willkürliche Function bezeichnet, in eine lineare Differentialgleichung zurückführbar ist. Dies kann nur durch eine Transformation von der Form \[ (2) \quad x'= X(x,y,p), \; y'= Y(x,y,p),\; p'= P(x,y,p) \] erreichbar sein von der Beschaffenheit, dass durch sie \(p'=dy'/dx'\) eine Folge von \(p=dy/dx\) wird. Ist \(X\) gegeben und \(U\) eine von \(X\) verschiedene Function von der Eigenschaft, dass \(X=\text{const.}=a\), \(U=\text{const.}=b\) eine gemeinsame Lösung \(y\) zulassen, dann ist \(Y=F(X,U)\), wo \(F\) eine willkürliche Function bezeichnet. Die Auffindung von \(U\) erfordert im allgemeinen die Integration von \(X=a\). \(P\) ist dann bestimmt durch \(P= \frac{\partial Y}{\partial p} : \frac{\partial X}{\partial p}\). Dies gilt, wenn \(X\) und dadurch auch \(Y\) die Variable \(P\) enthält. Ist \(X\) frei von \(p\), dann kann für \(Y\) jede beliebige Function von \(x,y\) genommen werden, und es ist dann \(P= \left( \frac{\partial Y}{\partial x} + p\;\frac{\partial Y}{\partial y} \right) : \left( \frac{\partial X}{\partial x} + p\;\frac{\partial X}{\partial y} \right)\). Es möge nun durch die Transformation (2) sich \(Z(x,y,p) = Z'(x',y',p')\) ergeben, so geht (1) über in \(Z'(x',y',p') =\varphi(x')\), und die Auflösung dieser Gleichung nach \(p'\) muss der Annahme nach die Form besitzen \[ (3) \quad p'= y' \varPhi (x', \varphi (x')) + \varPsi (x', \varphi(x')). \] Für die Möglichkeit der Zurückführung von (1) auf eine lineare Gleichung für jede willkürliche Function \(\varphi\) ist also notwending und hinreichend, dass eine Transformation von der Form \[ x'= X, \quad y'=Y, \quad p'= Y\varPhi (X,Z) + \varPsi (X,Z) \] existire. Die Kriterien hierfür werden vollständig entwickelt. Die Bestimmung der Functionen \(F\), \(\varPhi\) und \(\varPsi\) im Falle der Erfüllung der Bedingungen geschieht durch zwei succesive Quadraturen. In dem Integrale der linearen Differentialgleichung (3) hat man nur für \(x'\), \(y'\) zu setzen \(X\) und \(Y=F(X,U)\), um das Integral von (1) zu erhalten. Für einen besonderen Fall werden die Kriterien in zwei verschiedenen Formen gegeben und eine derselben benutzt, um sie mit den Bedingungen zu vergleichen, welche Herr Maximowitsch für die Integrirbarkeit der Differentialgleichungen einer gewissen Form in den C. R. mitgeteilt hat.