Remarques sur certaines équations aux différences partielles dórdre supérieur. (Q1533209)

Mathieu bildete durch Iteration von: \[ \varDelta u= \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \] den Ausdruck \[ \varDelta^2 u= \frac{\partial^4 u}{\partial x^4} + \frac{\partial^4 u}{\partial y^4} + \frac{\partial^4 u}{\partial z^4} + 2\;\frac{\partial^4 u}{\partial x^2 \partial y^2} +2\;\frac{\partial^4 u}{\partial y^2 \partial z^2} +2\;\frac{\partial^4 u}{\partial x^2 \partial z^2} \] und untersuchte die Integrale der Gleichung \[ \varDelta^2 u =0 \; \text{ resp. }\;-8\pi \varphi, \] die er als zweite Potentiale bezeichnete. Verf. verallgemeinert diese Betrachtungen nach zwei Richtungen: nach der Anzahl der Iterationen und der der unabhängigen Variabeln. In erster Hinsicht erhält man Differentialgleichungen \(2n^{\text{ter}}\) Ordnung, deren Integrale untersucht und als \(n^{\text{te}}\) Potentiale bezeichnet werden; in letzter Hinsicht unterscheiden sich die Lösungen der erhaltenen Differentialgleichungen wesentlich, je nachdem die Anzahl der Variabeln gerade oder ungerade ist. Nur für eine gerade Anzahl erhält man den allgemeinen Fall des logarithmischen Potentials.