Remarque sur certaines équations différentielles. (Q1533210)

In einer Anhandlung, welche im Journ. de Math. (4) VI. 405-422 (vergl. das vorangehende Referat (JFM 22.0363.01)) erschienen ist, hat der Verf. die Differentialgleichungen betrachtet, welche aus der Laplace'schen \[ \varDelta u= \varSigma\;\frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} =0 \qquad (i=1,2, \dots, \varrho) \] durch Wiederholung der Operation \(\varDelta\) entstehen. Innerhalb desselben Gedankenkreises nimmt jetzt der Verf. zur Verallgemeinerung seiner Ergebnisse \(u\) als Function von \(v\) an und setzt \[ v= \int \varphi (r)dr, \quad r= \varSigma (x_i -a_i)^2 \qquad (i= 1,2, \dots, \varrho) \] und kommt so zur Gleichung \[ \frac{d^2 u}{dv^2} + \frac{\psi(r)}{\varphi(r)}\;\frac{du}{dv} =0, \] 3 die er untersucht. Es folgen dann einige Bemerkungen über die Iteration der homogenen linearen Differentialgleichungen und die Anwendung dieser Bemerkungen auf die Gauss'sche Gleichung \[ \frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{(\alpha + \beta + 1) x- \gamma}{x^2 -x}\;\frac{dy}{dx} + \frac{\alpha \beta}{x^2 -x} =0. \] Der Verfasser bestimmt die Bedingungen dafür, dass diese Gleichung die Iteration der Gleichung sei: \[ \frac{dy}{dx} + p\gamma =0. \]