Neuer Beweis des zweiten Fundamentalsatzes in der Theorie der Transformationsgruppen. (Q1533217)

Als zweiten Fundamentalsatz seiner Gruppentheorie bezeichnet Herr Lie den Satz, dass \(r\) unabhängige infinitesimale Transformationen: \[ X_k f= \sum_1^n{_\nu} \xi_{k\nu} (x_1, \dots, x_n) \frac{\partial f}{\partial x_\nu} \quad (k=1, \dots, r) \] in \(n\) Veränderlichen \(x_1, \dots, x_n\) stets dann, aber auch nur dann, eine \(r\)-gliedrige Gruppe erzeugen, wenn sie in Beziehungen von der Form: \[ (1) \qquad (X_i X_k) =\sum_1^r{_s} c_{iks} X_s f \quad (i,k= 1,\dots, r) \] stehen, wobei die \(c_{iks}\) Constanten bedeuten. Er giebt hier für diesen Satz einen neuen Beweis, der sich durch besondere Einfachheit der zu Grunde liegenden Gedanken auszeichnet. Die Hauptgedanken dieses Beweises sind folgende: Sind \(X_1f, \dots, X_rf\) irgend welche unabhängige infinitesimale Transformationen, so erzeugt die infinitesimale Transformation: \[ Xf= e_1 X_1 f + \dots + e_r X_r f \] mit den \(r\) willkürlichen Parametern \(e_1, \dots, e_r\) eine Schar von \(\infty^r\) endlichen Transformationen: \[ (2) \quad \begin{cases} y_\nu = x_\nu + \frac{1}{1!}\;Xx_\nu + \frac{1}{2!}\;XXx_\nu + \dots \\ \quad =f_\nu (x_1, \dots, x_n;\; e_1, \dots, e_r) \\ \qquad\quad (\nu =1, \dots, n), \end{cases} \] die paarweise zu einander invers sind. Bei diesen \(\infty^r\) Transformationen nimmt jede Figur des Raumes \(x_1, \dots, x_n\) höchstens \(\infty^r\) verschiedene Langen an. Betrachtet man insbesondere solche Figuren, die Herr Lie \(m\)-Ecke nennt, und die aus je \(m\) Punkten von allgemeiner gegenseitiger Lage bestehen, so erkennt man sofort, dass jedes \(m\)-Eck bei den \(\infty^r\) Transformationen (2) höchstens \(\infty^r\) und, wenn \(m\leqq r\), mindestens \(\infty^m\) verschiedene Lagen annimmt. Demnach nimmt für \(m\overset{=}> r\) jedes \(m\)-Eck bei den Transformationen (2) gerade \(\infty^r\) verschiedene Lagen an. Sollen nun die \(\infty^r\) Transformationen (2) eine \(r\)-gliedrige Gruppe bilden, so ist notwendig und hinreichend, dass die Schar der Transformationen \[ (3) \quad y_\nu' =f_\nu (f_1(x,e), \dots, f_n(x,e);\; h_1, \dots, h_r) \] mit den \(2r\) Parametern \(e_k\) und \(h_k\) nur aus \(\infty^r\) verschiedenen Transformationen besteht; denn die Schar (3) umfasst die Schar (2) (für \(h_k =0\) und fällt daher dann, und nur dann, mit (2) zusammen, wenn sie bloss \(\infty^r\) Transformationen enthält. Demnach bildet die Schar (2) dann, und nur dann, eine Gruppe, wenn jedes \((r+1)\)-Eck auch bei zweimaliger Ausführung der \(\infty^r\) Transformationen (2) nur \(\infty^r\) verschiedene Lagen annimmt, wenn also der Inbegriff der \(\infty^r\) Lagen, die ein \((r+1)\)-Eck bei den Transformationen (2) annimmt, seinerseits stets diesen Transformationen gegenüber invariant bleibt, oder wenn die \(\infty^{n(r+1)}\) \((r+1)\)-Ecke des Raumes \(x_1, \dots, x_n\) von den Transformationen (2) in \(\infty^{n(n+1)-r}\) invariante Scharen von je \(\infty^r\) \((r+1)\)-Ecken zerlegt werden. Sind \(x_1^{(j)}, \dots, x_n^{(j)}\) \((j=1, \dots, r+1)\) die Ecken eines beliebigen \((r+1)\)-Ecks und setzt man: \[ \sum_1^n{_\nu} \xi_{k\nu} (x_1^{(j)}, \dots, x_n^{(j)})\;\frac{\partial f}{\partial x_\nu^{(j)}} =X_k^{(j)} f, \] so kommt die eben gefundene Bedingung darauf hinaus, dass die \(r\) Gleichungen: \[ (4) \quad U_k f= \sum_1^{r+1}{_j} X_k^{(j)} f=0 \quad (k= 1, \dots, r) \] in den \(n(r+1)\) Veränderlichen \(x_\nu^{(j)}\) gerade \(n(r+1)-r\) unabhängige Lösungen gemein haben müssen. Da nun die Gleichungen (4) sicher von einander unabhängig sind, so tritt dieser Fall dann, und nur dann, ein, wenn die ein \(r\)-gliedriges vollständiges System bilden, wenn also Relationen von der Form: \[ (U_i U_k)= \sum_1^r{_s} \varphi_{iks} (x_1^{(1)}, \dots,x_n^{(r+1)}) U_s f \quad (i,k= 1, \dots, r) \] bestehen. Diese aber zerlegen sich in die Gleichungen: \[ (X_i^{(j)} X_k^{(j)})=\sum_1^r{_s} \varphi_{iks} X_s^{(j)} f \] \[ (i,k =1,\dots, r;\quad j=1, \dots, r+1), \] aus denen nach einem alten Satze von Lie folgt, dass die \(\varphi_{iks}\) blosse Constanten sind. Damit ist bewiesen, dass das Bestehen von Gleichungen von der Form (1) notwendig und hinreichend ist, wenn die \(\infty^r\) Transformationen (2) eine \(r\)-gliedrige Gruppe bilden sollen.