Determination of a class of groups of contact transformations in three times extended space. (Q1533223)

Nach Lie heisst eine Gruppe von Berührungstransformationen des gewöhnlichen Raumes reducibel, wenn sie sich durch eine Berührungstransformation dieses Raumes in eine Gruppe von Punkttransformationen überführen lässt; im entgegengesetzen Falle heisst sie irreducibel. Da nun Lie schon längst alle Gruppen von Punkttransformationen des \(R_3\) bestimmt hatte, so war es, um alle Gruppen von Berührungstransformationen dieses Raumes zu kennen, nur noch nötig, die irreducibeln unter ihnen zu bestimmen. Einen Teil dieser Aufgabe hat Lie selbst schon früher erledigt, einen andern Teil hat Herr Scheffers auf Lie's Veranlassung und unter seiner Anleitung durchgeführt. Herr Scheffers bestimmt nämlich in der vorliegenden Arbeit alle irreducibeln Berührungstransformationsgruppen des Raumes \(x,y,z\) bei denen eine Schar von \(\infty^1\) partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung: \[ (1) \quad \varPhi \left( x,y,z,\;\frac{\partial z}{\partial x},\;\frac{\partial z}{\partial y} \right) =\text{const.} \] invariant bleibt. Die von Lie herrührende Methode, die Herr Scheffers dabei benutzt, ist folgende: Zunächst denkt man sich die Gleichung (1) durch eine Berührungstransformation auf die Form: \[ (1') \quad y=\text{const.} \] gebracht, was nach einem Lie'schen Satze immer möglich ist. Jede der gesuchten Berührungstransformationsgruppen erhält dabei eine neue Form \(G\), bei der \(y\) für sich transformirt wird, und zwar, wieder nach einem Satze von Lie, höchstens dreigliedrig. Nun enthält \(G\) eine invariante Untergruppe \(g\), bei der \(y\) gar nicht transformirt wird, und es lässt sich zeigen, dass \(g\) stets irreducibel ist, wenn \(G\) es ist. Andererseits kennt man durch Lie's Untersuchungen alle irreducibeln Berührungstransformationsgruppen der Ebene, und daraus kann man durch gewisse von Lie häufig angewandte Betrachtungen die verschiedenen möglichen Formen von \(g\) bestimmen und auf Normalformen zurückführen. Hat man diese Aufgabe gelöst, so muss man noch zu jeder der gefundenen Gruppen \(g\) die zugehörigen Gruppen \(G\) bestimmen, bei denen die Veränderliche \(y\) ein-, zwei- oder dreigliedrig transformirt wird. Es erübrigt noch zu bemerken, dass Herr Scheffers im ganzen zwölf verschiedene Normalformen für die gesuchten Gruppen findet, das heisst, jede Gruppe von der verlangten Beschaffenheit ist durch eine Berührungstransformation des Raumes \(x,y,z\) mit einer dieser zwölf Normalformen ähnlich.