On algebraic functions of several variables (Q1533244)

Es sei \(\varphi\) eine algebraische Function der \(n\) Veränderlichen \(x_1, \dots, x_n\), und die Coefficienten der irreduciblen Gleichung, welcher die Function \(\varphi\) genügt, mögen sämtlich bei gewissen Permutationen der Veränderlichen \(x_1, \dots, x_n\) ungeändert bleiben; dann wird die algebraische Function \(\varphi\) selbst als eine solche bezeichnet, welche jene Permutationen zulässt. Der Verfasser beweist nun den Satz: Damit eine rationale Function \(F\) der Veränderlichen \(x_1, \dots, x_n\) rational ausdrückbar sei durch eine algebraische Function \(\varphi\) dieser selben Veränderlichen und durch die elementaren symmetrischen Functionen derselben, ist es notwendig und hinreichend, dass die Function \(F\) ungeändert bleibt bei allen denjenigen Permutationen, welche die Function \(\varphi\) zulässt. Daraus ergiebt sich zugleich der Satz, dass, wenn eine algebraische Function \(f\) von der \(\lambda^{\text{ten}}\) Ordnung alle Permutationen zulässt, welche eine andere algebraische Function \(\varphi\) zulässt, dann jene Function \(f\) eine algebraische Function von nicht höherer als der \(\lambda^{\text{ten}}\) Ordnung der Function \(\varphi\) und der elementaren symmetrischen Function ist. Dabei wird unter der Ordnung \(\lambda\) einer algebraischen Function der Grad der irreduciblen Gleichung verstanden, welcher sie genügt.