On functions which satisfy certain functional equations. (Q1533246)

Der Verfasser stellt sich die Aufgabe, alle transcendenten ganzen Functionen \(F(x)\) zu bestimmen, welche der Gleichung \(F(x+K) = e^{-\varphi (x)} F(x)\) genügen, wo \(\varphi(x)\) eine ganze rationale Function bezeichnet. Unter der Voraussetzung der Convergenz stellt die Reihe \(1+ a_0 + a_0a_1 + a_0a_1a_2 + \dots + b_1 + b_1b_2 + b_1b_2b_3 + \dots\) eine derartige Function dar, wenn \(a_n = e^{\varphi (x+nK)}\) und \(b_n = e^{-\varphi (x-nK)}\) ist. Die Convergenz der Reihe findet statt, falls \(\varphi(x)\) eine Function ungerader Ordnung ist und der Coefficient der höchsten Potenz in \(\varphi(xK)\) einen negativen reellen Bestandteil besitzt. Ist der Grad von \(\varphi(x)\) gleich 1, so geht die Reihe in die \(\vartheta\)-Reihe über. Der allgemeine Ausdruck von \(F(x)\) ergiebt sich in Form eines unendlichen Productes, welches eine Verallgemeinerung der \(\sigma\)-Function von Weierstrass darstellt. Soll \(F(x)\) zwei Gleichungen \(F(x+K) = e^{-\varphi(x)}\). \(F(x)\) und \(F(x+K') = e^{-\psi(x)}\). \(F(x)\) befriedigen, wo \(\varphi(x)\) und \(\psi(x)\) ganze rationale Functionen bezeichnen, so ist \(F(x)\) notwendig ein Product der Gestalt \(\sigma (x- \xi_1). \sigma (x- \xi_2) \dots \sigma (x- \xi_p). e^{g(x)}\), wo \(\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_p\) Constanten und \(g(x)\) eine ganze rationale Function bezeichnen.