On a curve which entirely fills a plane domain. (Q1533254)

Ist \(t\) irgend eine zwischen 0 und 1 gelegene reelle Zahl, so kann man dieselbe stets in die Gestalt \[ t= \frac{a_1}{3} + \frac{a_2}{3^2} + \frac{a_3}{3^3} + \dots \] entwickeln, wo \(a_1, a_2, a_3, \dots\) sämtlich die Werte 0, 1 oder 2 haben. Man setze nun \(K0=2\), \(K1=1\), \(K2=0\) und verstehe unter \(K^n a\) die durch \(n\)-malige Wiederholung der Operation \(K\) entstehende Zahl. Nun bilde man allgemein die Zahlen \[ \begin{aligned} & b_n = K^{a_2 + a_4 + \dots + a_{2n-2}} a_{2n-1},\\ & c_n = K^{a_1 + a_3 + \dots + a_{2n-1}} a_{2n}\end{aligned} \] und begrachte dann die beiden Zahlen \[ x= \frac{b_1}{3} + \frac{b_2}{3^2} + \dots, \quad y= \frac{c_1}{3} + \frac{c_2}{3^2} + \dots . \] Es ergiebt sich dann, dass diese Grössen \(x\) und \(y\), als Functionen von \(t\) aufgefasst, stetig und eindeutig sind und überdies jedes Paar von Werten darstellen können, welche zwischen 0 und 1 gelegen sind. Die Functionen \(x\) und \(y\) vermitteln somit die stetige Abbildung eines Linienstückes von der Länge 1 auf ein Quadrat von der Seitenlänge 1. Einem Satze von Netto entsprechend, ist diese Abbildung jedoch nicht umkehrbar eindeutig, indem einem gegebenen Wertepaare \(x,y\) eins, zwei oder vier Werte von \(t\) entsprechen können. Ueberdies sind die Functionen \(x\) und \(y\) nirgends nach \(t\) differentiirbar.