On continuous functions which have extreme values in every intervall. (Q1533271)

Der Verfasser beschäftigt sich mit solchen Functionen \(F(x)\) einer reellen Veränderlichen \(x\), welche in jedem beliebig klein gewählten Intervalle der Veränderlichen \(x\) gleiche Werte annehmen, oder -- was im wesentlichen auf dasselbe hinausläuft -- welche in jedem noch so kleinen Intervalle für drei aufeinander folgende Argumente \(x_1, x_2, x_3\) solche drei Werte besitzen, dass der mittlere von ihnen, nämlich \(F(x_2)\), entweder kleiner oder grösser ist, als jeder der beiden anderen Werte \(F(x_1)\) und \(F(x_3)\). Von einer solchen Function \(F(x)\) beweist der Verfasser zunächst, dass es in jedem noch so kleinen Intervalle unendlich viele Stellen giebt, an denen die Function den nämlichen Wert annimmt. Ferner wird bewiesen, dass es in jedem Intervalle möglich ist, eine solche Stelle \(x= \zeta\) zu finden, so dass die Grösse \(\frac{F(\zeta + h_n) - F(\zeta)}{h_n}\) in der Grenze gleich 0 wird, wenn \(h_1, h_2, \dots, h_n, \dots\) passend gewählte, der Grenze 0 zustrebende Zahlen sind.