On the representations of Fuchsian functions of the first family as infinite products. (Q1533278)

Wenn man die Null- und Unendlichkeitsstellen angiebt, so reichen die Thetafuchs'schen Functionen nicht aus, um die Theorie der Fuchs'schen Functionen zu entwickeln, man braucht vielmehr Hülfsfunctionen, deren Null- und Unendlichkeitsstellen stets ersichtlich bleiben, also Producte gewisser Primfunctionen. (Vgl. des Verfassers Arbeit in Wien. Ber. XCII, F. d. M. XVII. 1885. 411, JFM 17.0411.01). Hier werden zuerst die Sätze zusammengestellt welche für die Bildung einer Gruppe linearer Substitutionen erster Familie nötig sind. Hat man dann auf Grund derselben eine Gruppe von \(n\) Fundamentalsubsitutionen: \[ (z, f(z)) = \left( z, \frac{\alpha_i z + \beta_i}{\gamma_i z + \delta_i} \right), \qquad \alpha_i \delta_i - \beta_i \gamma_i =1, \] welche den Einheitskreis ungeändert lassen, abgeleitet, so ist die Aufgabe zu lösen, eindeutige analytische Functionen \(F(z)\) zu bilden, welche durch verschiedene Substitutionen der Gruppe nicht geändert werden. Eine solche Function findet der Verfasser in der Gestalt: \[ \tau(z, a_0) = \prod_{\nu =0}^{\nu =\infty} \left( 1- \frac{a_{\nu} - b_{\nu}}{z- b_{\nu}} \right) e^{\frac{a_{\nu} - b_{\nu}}{z- b_{\nu}}}, \] und jede andere geht durch Multiplication mit einer willkürlichen Function von der Form \(e^{G(x)}\) aus ihr hervor, wenn \(G(x)\) eine innerhalb des Einheitskreises durchaus reguläre und eindeutige Function bedeutet. Hebt man die hierbei gemachte Voraussetzung über die Lage der Unendlichkeitsstellen \(a_{\lambda}\) innerhalb der Fundamentalpolygone auf und nimmt an, dass die Stellen \(f_{\nu} (a)\) mit den \(p\)-fach zu zählenden Ecken eines \(m\)-gliedrigen Cyklus zusammenfallen, so entsteht die analoge Function: \[ \prod_{\nu =0}^{\nu =\infty} \left( 1- \frac{a_{\nu} - b_{\nu}}{z- b_{\nu}} \right)^p e^{p \frac{a_{\nu} - b_{\nu}}{z- b_{\nu}}} \cdot \] Hierauf wird das Verhalten der Function \(\tau (z, a_0)\) hinsichtlich einer Substitution der obigen Gruppe untersucht; dann wird der allgemeinste Ausdruck einer innerhalb des Einheitskreises eindeutigen analytischen Function mit vorgegebenen Null- und Unendlichkeitsstellen in der Gestalt gefunden: \[ F(z)= C \cdot \frac{\prod_{\kappa =1}^{\kappa} \tau (z, c_0^{(\kappa)})}{\prod_{\lambda =1}^{\lambda} \tau (z, c^{(\lambda)})}\;e^{G(z)}, \] und endlich wird das Verhalten derselben hinsichtlich einer Substitution der Gruppe gekennzeichnet. Dann ist es möglich, die Bedingungen anzugeben, unter welchen die Function eine Fuchs'sche wird; doch hat der Verfasser dieselben noch nicht auf die notwendigen und hinreichenden Bedingungen zurückgeführt. Die vorliegende Arbeit steht, wie der Verfasser am Schlusse bemerkt, in engem Zusammenhange mit der von Herrn Stahl in Math. Ann. XXXIII (1888, siehe JFM 20.0415.01) veröffentlichen Abhandlung über die Productdarstellung eindeutiger linear-periodischer Functionen, von der er jedoch erst nach Vollendung seines Aufsatzes Kenntnis bekommen hat.