Proof that \(\pi\) cannot be the root of an algebraic equation with integer coefficients. (Q1533295)

Der Verfasser hat die in der ersten Note (siehe JFM 22.0437.04) enthaltenen Entwickelungen in der zweiten zurückgenommen. In dieser zweiten Note will Herr Sylvester einen Beweis, der einfacher als der von Lindemann herrührende ist, für die Transcendenz der Zahl \(\pi\) oder vielmehr allgemeiner der trigonometrischen Tangente einer algebraischen Zahl geben. Der Beweis scheint dem Referenten jedoch nicht stichhaltig zu sein. Der Verfasser stützt sich auf den Lambert'schen Satz, dass \[ \tau(\theta) = \frac{\theta^2}{1- \frac{\theta^2}{3- \frac{\theta^2}{5-{ ._{._.}}}}} = \theta . \text{tg\,} \theta \] ist. Setzt man \[ \varTheta_r (\theta) = \frac{\theta^2}{2r + 1- \frac{\theta^2}{2r +3 - {._{._.}}}}\,, \] so findet man \[ \varTheta_r (\theta) = \frac{A_{r+1} (\theta) . \tau (\theta) - B_{r+1} (\theta)}{A_r (\theta) . \tau (\theta) - B_r (\theta)}, \] wo \(A_r(\theta), B_r(\theta)\) ganze ganzzahlige Functionen von \(\theta\) sind. Ferner ist nach einem von Hrn. Sylvester vorausgeschickten Lemma stets von einem gewissen \(r\) ab der absolute Betrag von \(\varTheta_r(\theta)\) kleiner als 1, welchen Wert \(\theta\) auch besitzen möge. Nimmt man nun an, \(\theta\) genüge einer ganzzahligen Gleichung (in welcher der Coefficient der höchsten Potenz von \(\theta\), unbeschadet der Allgemeinheit, gleich 1 vorausgesetzt wird); nimmt man ferner an, tg\,\(\theta\) sei rational, oder allgemeiner: \(\tau(\theta)\) sei eine rationale Function von \(\theta\) mit rationalen Coefficienten, so wird für einen geeigneten Wert der ganzen Zahl \(k\) das Product \(k.\tau (\theta)\) und also auch \[ k[ A_r (\theta) \tau (\theta) - B_r (\theta)] \] eine ganze ganzzahlige Function von \(\theta\) sein. Nun ist nach dem erwähnten Lemma das Product \[ \varTheta_r (\theta) \varTheta_r (\theta_2) \dots \varTheta_r (\theta_n) = \varPi \varTheta_r (\theta), \] absolut genommen, kleiner als 1, falls \(r\) gross genug gewählt wird und \(\theta_2, \dots, \theta_n\) die mit \(\theta\) conjugirten algebraischen Zahlen bedeuten. Hieraus folgt, dass die absoluten Werte der Producte \[ k^n \varPi (A_r (\theta) \tau (\theta) - B_r (\theta)), \quad k^n \varPi (A_{r+1} (\theta) \tau (\theta) - B_{r+1} (\theta)), \quad \dots \] eine unendliche Reihe abnehmender Zahlen bilden. Diese Zahlen (so fährt Sylvester fort) sind aber ganze positive Zahlen, und man hat daher einen Widerspruch. Dieser Schluss, dass es sich um positive ganze Zahlen handle, ist aber nicht zulässig. Denn wenn auch \(k[ A_r (\theta) \tau (\theta) - B_r (\theta)]\) eine ganze ganzzahlige Function von \(\theta\) ist, so folgt noch nicht, dass \(k[ A_r (\theta_i) \tau (\theta_i) - B_r (\theta_i)]\), wo \(i\) einen der Werte \(2, \dots, n\) besitzt, dieselbe ganze Function von \(\theta_i\) ist. Damit wird aber der ganze Beweis hinfällig.