Bemerkung über die elliptischen Modulfunctionen. (Q1533324)

Es wird die Frage aufgeworfen, ob die elliptischen Modulfunctionen überhaupt unter die Formeln Poincaré's \[ \varTheta (x,R) = \sum \left( \frac{dx_{axa'}}{dx} \right)^m R(x_{axa'}) \] (Acta Math. I. 4) fallen. In den Fällen \(m=2,3; R=1\) verschwinden, wie Herr Pick bemerkt hat, die Reihen \(\varTheta (\tau, R)\) identisch. Es zeigt sich leicht, dass für \(m<6\) dies immmer der Fall ist. Für \(m=6\) findet man eine einzige Function (vgl. v. Mangoldt, Gött. Nachr. 1886). Für \(m=7\) findet man gar keine, für \(m=8\) zwei linear unabhängige Functionen etc. Die einfachsten Grundlagen zur Behandlung solcher speciellen Fälle sind durch die Eisenstein'schen Summen \[ \sum \frac{1}{(\mu_1 \omega_1 + \mu_2 \omega_2)^{2m}} \] gegeben. Diese werden nicht unmittelbar in der allgemeinen Theorie erhalten, wohl aber leicht als Grenzwerte Poincaré'scher Reihen \(\varTheta (\tau, R)\).