Quelques remarques au sujet des fonctions sphériques. (Q1533370)

Herr Beltrami hatte bereits bei einer früheren Gelegenheit (cf. F. d. M. XIX. 1887. 506, JFM 19.0505.01) darauf aufmerksam gemacht, dass man die Differentialgleichung zweiter Ordnung, welcher die Function \[ (1) \quad R_n =AP^n (x) + BQ^n (x), \] genügt, in der die Constanten \(A\) und \(B\) von dem Index unabhängig sind, durch folgende zwei Differentialgleichungen erster Ordnung zwischen \(R_n\) und \(R_{n-1}\) ersetzen kann: \[ (2) \quad \begin{cases} \frac{dR_{n-1}}{dx} = x\frac{dR_n}{dx} -nR_n, \\ \frac{dR_n}{dx} =x \frac{dR_{n-1}}{dx} + nR_{n-1} ^*). \end{cases} \] Hieran anknüpfend, zeigt der Verf., dass für die Function \[ (3) \quad U_n =(1-x^2)^{\frac 12 (n+1)} R_n, \] wenn man noch \(x=\cos \vartheta\), \(z= \text{cotg\,} \vartheta\) setzt, aus (2) die Recursionsformel \[ (4) \quad U_n =- \frac 1n\;\frac{dU_{n-1}}{dz} \] und daraus weiter \[ (5) \quad U_n = \frac{(-1)^n}{n!}\;\frac{d^n U_0}{dz^n} \] folgt. Es wird daher \[ (6) \quad \sum_0^{\infty} \alpha^n U_n =U_0 (z-\alpha), \] wobei die rechte Seite der Wert ist, den \(U_0\) annimmt, wenn man darin \(z-\alpha\) an Stelle von \(z\) setzt. Ist \(A=1\), \(B=0\), so wird \(U_0 = \sin \vartheta\), und die beiden Gleichungen (5), (6) gehen dann in die folgenden über: \[ (5^{\text{a}}) \quad P^n (\cos \vartheta) = \frac{(-1)^n}{n!}\;\frac{1}{\sin^{n+1}\vartheta}\;\frac{d^n (\sin \vartheta)}{d(\text{cotg\,} \vartheta)^n}, \] \[ (6^{\text{a}}) \quad \sum_0^{\infty} \alpha^n \sin^n \vartheta P^n (\cos \vartheta) = \frac{1}{\sqrt{1- 2\alpha \sin \vartheta \cos \vartheta + \alpha^2 \sin^2 \vartheta}}\,. \] Zum Schluss werden die Functionen \[ \frac{R_{n-1} + R_n}{2} =S_n, \quad \frac{R_{n-1} -R_n}{2} =T_n \] betrachtet und aus (2) zwei Differentialgleichungen erster Ordnung zwischen \(S_n\) und \(T_n\) abgeleitet, aus denen sich leicht die Gleichungen zweiter Ordnung ergeben, denen \(S_n\) und \(T_n\) für sich genügen. Wird wieder \(A=1\), \(B=0\), \(x= \cos \vartheta\) gesetzt, so folgt aus dem Dirichlet'schen Integral für \(P^n (\cos \vartheta)\): \[ S_n = \frac{1}{\pi} \int_{\vartheta}^{\pi} \frac{\sin nu}{\sin \frac 12u}\;\frac{\sin udu}{\sqrt{2(\cos \vartheta - \cos u)}}, \] und aus dieser Form kann man, wenn man Dirichlet's Untersuchungen über die Fourier'schen Reihen benutzt, unmittelbar schliessen: \[ \begin{aligned} & \lim_{n=\infty} S_n=0 \quad \text{für} \quad \pi <\vartheta <0,\\ & \lim_{n=\infty} S_n =1 \quad \text{für} \quad \vartheta=0.\end{aligned} \] \(^*)\) Fussnote: Im Original steht im letzten Gliede der zweiten Gleichung fälschlich \(R_n\) statt \(R_{n-1}\).